♛ 遵循黄金比例的国际象棋皇后

取一块向右和向上无限延伸的棋盘。在左下角放一个皇后。然后向右移动一列，把皇后放在没有被之前任何皇后攻击的最低格子上——不在同一行，不在同一条对角线，也不在同一条反对角线上。一列接一列，永远重复下去。

这是一种贪心规则：每个皇后都占据第一个空位，不做任何长远规划。由此产生的行号序列开头是0, 2, 4, 1, 3, 8, 10, 12, 14, 5, 7, 18, 6, 21, 9……它们看起来杂乱无章，其实并非如此。

前20列。青绿色皇后位于主对角线上方，橙色皇后位于下方。——图1，Ho（2026），arXiv:2609.31336。

两条直线和一个著名的数

把前一百列的皇后画出来，它们会落在两条直线上。对角线上方的皇后以接近1.618的斜率上升；下方的皇后则以接近0.618的斜率上升。这两个数都与黄金比例 φ = (1 + √5)/2 有关：一条直线是 y = xφ，另一条是 y = x/φ。

前100列皇后的位置，两轴比例相同，并画出直线 y = xφ 和 y = x/φ。——图2，Ho（2026），arXiv:2609.31336。

这个数列自2001年起就收录在整数数列在线百科全书（OEIS）中。2020年，Michel Dekking、Jeffrey Shallit和Neil Sloane猜想，皇后偏离这两条直线的距离永远不会超过某个有界值。高德纳用数值方法验证到了10亿列，但一直没有人能证明它。

定理

新加坡国立大学的Boon Suan Ho如今证明了这一猜想，并给出了明确的界。对每一列n：

• 对角线上方的皇后与直线 y = xφ 的距离小于 5/φ ≈ 3.09 格；
• 对角线下方的皇后与直线 y = x/φ 的距离小于 4 + 5/φ ≈ 7.09 格。

为什么是黄金比例？假设有比例为θ的皇后位于对角线上方。统计这两族皇后如何分享各行和各条对角线，就会迫使θ满足 θ² + θ = 1，其正解为1/φ。真正的难点在于证明误差永远不会增长。一切归结为一个关键引理：对角线下方的第j个皇后，总是位于第j条下对角线的4条对角线以内。

由机器验证的证明

为了证明这一引理，Ho用一个小小的“局部状态”来描述每一列之前的棋盘：几个数字，再加上用四个字母组成的短词，记录高处皇后的位置。一个由12个字母的词构成的有限“历史图”（2092个顶点，2603条边）规定了哪些字母可以跟在哪些字母后面。然后，计算机遍历从第30列出发可以到达的所有状态：共7014个状态，每一个都满足所要求的界。再通过归纳法证明，真实的数列永远不会离开这个有限集合。

两个互相独立、不共享任何代码的程序得到了相同的状态。论文附有用证明助手Lean完成的形式化证明，所有代码都已公开。

彩蛋：一个游戏和一个快速生成器

这些皇后里藏着一个游戏。每次移动一个皇后，可以向左、向下或沿对角线向左移动；无法移动的一方输。必败的格子恰好就是这些贪心皇后的位置。去掉沿反对角线的移动，就得到威佐夫博弈（Wythoff’s Nim），这个游戏早已被证明受黄金比例支配。

这一证明还带来了一个极为节省资源的算法。Ho的程序只用1.76兆字节内存，就在约25秒内生成了100亿个皇后；而高德纳程序的一个改编版本需要49秒和超过6吉字节的内存。原来，棋盘上的每条对角线都恰好有一个皇后。

借助人工智能找到

论文最后有一则声明：“该证明是借助GPT-6 Pro找到的，它还生成了本文的初稿。”之后，论文在作者的指导下用Claude Opus 5.5进行了修订。仍有一个问题悬而未决：高德纳提出的更紧的下界，已经由计算机验证到1000亿列，但仍有待证明。