♛ SARAUNIYOYIN DARA DA KE BIN GOLDEN RATIO

Ka ɗauki allon dara da ya miƙe har abada zuwa dama da sama. Ka ajiye sarauniya a kusurwar ƙasa ta hagu. Sannan ka matsa ginshiƙi ɗaya zuwa dama ka ajiye sarauniya a kan murabba’i mafi ƙasƙanci da babu wata sarauniya ta baya da ke kai masa hari — ba a layi ɗaya ba, ba a kan diagonal ɗaya ba, ba a kan anti-diagonal ɗaya ba. Ka maimaita, ginshiƙi bayan ginshiƙi, har abada.

Wannan ƙa’ida ce ta kwaɗayi (greedy): kowace sarauniya tana ɗaukar wuri na farko da ke buɗe ba tare da shirin gaba ba. Layukan da take samarwa suna farawa da 0, 2, 4, 1, 3, 8, 10, 12, 14, 5, 7, 18, 6, 21, 9… Suna kama da babu tsari. Amma ba haka ba ne.

Ginshiƙai 20 na farko. Sarauniyoyi masu launin teal suna sama da babban diagonal, masu launin lemu kuma a ƙasansa. — Hoto na 1, Ho (2026), arXiv:2609.31336.

Layuka biyu da wata shahararriyar lamba

Ka zana sarauniyoyin a cikin ginshiƙai ɗari na farko, za su faɗi a kan madaidaitan layuka biyu. Sarauniyoyin da ke sama da diagonal suna hawa da karkacewar da ke kusa da 1.618; waɗanda ke ƙasa kuma da karkacewar da ke kusa da 0.618. Lambobin biyu suna da alaƙa da golden ratio, φ = (1 + √5)/2: layi ɗaya shi ne y = xφ, ɗayan kuma y = x/φ.

Wuraren sarauniyoyi a ginshiƙai 100 na farko, a kan axes masu ma’auni ɗaya, tare da layukan y = xφ da y = x/φ. — Hoto na 2, Ho (2026), arXiv:2609.31336.

Jerin lambobin yana cikin On-Line Encyclopedia of Integer Sequences tun 2001. A 2020, Michel Dekking, Jeffrey Shallit da Neil Sloane sun yi hasashen cewa sarauniyoyin ba sa taɓa nisanta daga waɗannan layuka biyu fiye da wani tazara mai iyaka. Donald Knuth ya duba shi da lissafi har zuwa ginshiƙai biliyan ɗaya. Babu wanda ya tabbatar da shi.

Theorem ɗin

Boon Suan Ho, na National University of Singapore, yanzu ya tabbatar da shi tare da iyakoki a fili. Ga kowane ginshiƙi n:

• sarauniya da ke sama da diagonal tana da nisa ƙasa da murabba’i 5/φ ≈ 3.09 daga layin y = xφ;
• sarauniya da ke ƙasansa tana da nisa ƙasa da murabba’i 4 + 5/φ ≈ 7.09 daga layin y = x/φ.

Me ya sa golden ratio? Ka ɗauka cewa wani yanki θ na sarauniyoyin yana sama da diagonal. Ƙidaya yadda iyalan biyu ke raba layuka da diagonals yana tilasta θ ta gamsar da θ² + θ = 1, wadda amsarta mai kyau ita ce 1/φ. Ainihin wahalar ita ce nuna cewa kuskuren ba ya taɓa girma. Komai ya dogara ne a kan wani muhimmin lemma ɗaya: sarauniya ta j da ke ƙasa da diagonal koyaushe tana cikin diagonals 4 na diagonal na ƙasa na j.

Hujjar da na’ura ta duba

Don tabbatar da wannan lemma, Ho yana bayyana allon kafin kowane ginshiƙi da wani ƙaramin “yanayi na gida”: wasu lambobi kaɗan tare da gajerun kalmomi a cikin haruffa huɗu da ke rubuta inda sarauniyoyin sama suke. Wani “graph na tarihi” mai iyaka na kalmomi masu haruffa 12 (vertices 2,092, edges 2,603) yana faɗin wane harafi zai iya bin wane. Sai kwamfuta ta binciko kowane yanayi da za a iya kaiwa daga ginshiƙi na 30: yanayi 7,014, kowanne yana mutunta iyakokin da ake buƙata. Induction yana nuna cewa ainihin jerin lambobin ba ya taɓa barin wannan saiti mai iyaka.

Shirye-shirye biyu masu zaman kansu, ba tare da raba wata lamba ba, sun kai ga yanayi iri ɗaya. Tsarin hujjar a cikin mataimakin hujja na Lean yana tare da takardar, kuma dukkan lambar a buɗe take ga kowa.

Kari: wasa da mai samarwa mai sauri

Sarauniyoyin suna ɓoye da wani wasa a cikinsu. Ka motsa sarauniya ɗaya zuwa hagu, zuwa ƙasa, ko a karkace zuwa hagu; duk wanda ba zai iya motsawa ba ya sha kaye. Murabba’an masu sa a sha kaye su ne daidai sarauniyoyin kwaɗayi. Idan ka cire motsin anti-diagonal sai ka samu Wythoff’s Nim, wasan da aka riga aka san cewa golden ratio ce ke mulkarsa.

Hujjar kuma tana ba da wani algorithm mai matuƙar tattalin arziki. Shirin Ho ya samar da sarauniyoyi biliyan goma cikin kusan daƙiƙa 25 ta amfani da megabyte 1.76 na memory, idan aka kwatanta da daƙiƙa 49 da fiye da gigabyte 6 na wani gyararren shirin Knuth. Ashe kowane diagonal na allon yana da sarauniya ɗaya kawai.

An gano ta da AI

Takardar ta ƙare da wata sanarwa: “An gano hujjar ne da GPT-6 Pro, wanda kuma ya samar da daftarin farko na wannan takarda.” Daga baya an sake duba ta da Claude Opus 5.5 a ƙarƙashin jagorancin marubucin. Tambaya ɗaya ta rage a buɗe: iyakokin ƙasa masu tsauri na Knuth, waɗanda kwamfuta ta tabbatar har zuwa ginshiƙai biliyan ɗari, har yanzu suna jiran hujja.