♛ সোনালি অনুপাত মেনে চলা দাবার রানিরা

এমন একটি দাবার ছক নিন যা ডান দিকে আর ওপরের দিকে চিরকাল বিস্তৃত। নিচের বাঁ কোণে একটি রানি বসান। তারপর এক কলাম ডানে সরে গিয়ে রানি বসান সেই সবচেয়ে নিচের ঘরে, যাকে আগের কোনো রানি আক্রমণ করে না — একই সারিতে নয়, একই কর্ণে নয়, একই বিপরীত কর্ণেও নয়। কলামের পর কলাম, চিরকাল এটাই চালিয়ে যান।

এটি একটি লোভী (greedy) নিয়ম: প্রতিটি রানি আগাম কোনো পরিকল্পনা ছাড়াই প্রথম খালি জায়গাটি নেয়। এতে যে সারিগুলো তৈরি হয় তা শুরু হয় 0, 2, 4, 1, 3, 8, 10, 12, 14, 5, 7, 18, 6, 21, 9… দিয়ে। এগুলো এলোমেলো মনে হয়। আসলে তা নয়।

প্রথম ২০টি কলাম। সবজে-নীল রানিরা মূল কর্ণের ওপরে, কমলাগুলো নিচে। — চিত্র ১, হো (২০২৬), arXiv:2609.31336।

দুটি রেখা আর একটি বিখ্যাত সংখ্যা

প্রথম একশো কলামের রানিদের লেখচিত্রে বসালে তারা পড়ে দুটি সরলরেখার ওপর। কর্ণের ওপরের রানিরা প্রায় ১.৬১৮ ঢালে ওঠে; নিচেরগুলো প্রায় ০.৬১৮ ঢালে। দুটি সংখ্যাই সোনালি অনুপাত φ = (1 + √5)/2-এর সঙ্গে যুক্ত: একটি রেখা y = xφ, অন্যটি y = x/φ।

প্রথম ১০০টি কলামে রানিদের অবস্থান, সমান মাপের অক্ষে, y = xφ ও y = x/φ রেখার সঙ্গে। — চিত্র ২, হো (২০২৬), arXiv:2609.31336।

অনুক্রমটি ২০০১ সাল থেকে পূর্ণসংখ্যা অনুক্রমের অনলাইন বিশ্বকোষে (OEIS) রয়েছে। ২০২০ সালে মিশেল ডেকিং, জেফ্রি শ্যালিট ও নিল স্লোন অনুমান করেন যে রানিরা এই দুটি রেখা থেকে একটি সীমিত দূরত্বের বেশি কখনো সরে না। ডোনাল্ড নুথ সংখ্যাগতভাবে একশো কোটি কলাম পর্যন্ত এটি যাচাই করেছিলেন। কেউ এটি প্রমাণ করেননি।

উপপাদ্য

ন্যাশনাল ইউনিভার্সিটি অফ সিঙ্গাপুরের বুন সুয়ান হো এখন সুস্পষ্ট সীমাসহ এটি প্রমাণ করেছেন। প্রতিটি কলাম n-এর জন্য:

• কর্ণের ওপরের একটি রানি y = xφ রেখা থেকে 5/φ ≈ ৩.০৯ ঘরের কম দূরে থাকে;
• এর নিচের একটি রানি y = x/φ রেখা থেকে 4 + 5/φ ≈ ৭.০৯ ঘরের কম দূরে থাকে।

সোনালি অনুপাতই কেন? ধরা যাক রানিদের θ ভগ্নাংশ কর্ণের ওপরে থাকে। দুই দল কীভাবে সারি ও কর্ণগুলো ভাগাভাগি করে, তা গুনলে θ-কে θ² + θ = 1 মানতে বাধ্য হতে হয়, যার ধনাত্মক সমাধান 1/φ। আসল কঠিন কাজ হলো দেখানো যে ত্রুটি কখনো বাড়ে না। সবকিছু এসে দাঁড়ায় একটি মূল লেমায়: কর্ণের নিচের j-তম রানি সবসময় j-তম নিম্ন কর্ণের ৪টি কর্ণের মধ্যে থাকে।

যন্ত্রে যাচাই করা প্রমাণ

সেই লেমা প্রমাণ করতে, হো প্রতিটি কলামের আগের ছকটিকে একটি ছোট “স্থানীয় অবস্থা” দিয়ে বর্ণনা করেন: কয়েকটি সংখ্যা, আর চার অক্ষরের বর্ণমালায় লেখা ছোট ছোট শব্দ, যা ওপরের রানিরা কোথায় আছে তা লিখে রাখে। ১২ অক্ষরের শব্দ দিয়ে তৈরি একটি সসীম “ইতিহাস গ্রাফ” (২,০৯২টি শীর্ষবিন্দু, ২,৬০৩টি প্রান্ত) বলে দেয় কোন অক্ষরের পরে কোন অক্ষর আসতে পারে। তারপর একটি কম্পিউটার কলাম ৩০ থেকে পৌঁছানো যায় এমন প্রতিটি অবস্থা খুঁজে দেখে: ৭,০১৪টি অবস্থা, যার প্রতিটি প্রয়োজনীয় সীমা মেনে চলে। একটি আরোহ (induction) যুক্তি দেখায় যে আসল অনুক্রমটি এই সসীম সেট থেকে কখনো বেরিয়ে যায় না।

দুটি স্বাধীন প্রোগ্রাম, যারা কোনো কোড ভাগ করে না, একই অবস্থাগুলোতে পৌঁছায়। গবেষণাপত্রের সঙ্গে Lean প্রুফ অ্যাসিস্ট্যান্টে একটি আনুষ্ঠানিক রূপায়ণ রয়েছে, আর সব কোড উন্মুক্ত।

বাড়তি পাওনা: একটি খেলা আর একটি দ্রুত জেনারেটর

রানিদের মধ্যে একটি খেলা লুকিয়ে আছে। একটি রানিকে বাঁয়ে, নিচে বা কোনাকুনি বাঁ দিকে সরান; যে চাল দিতে পারে না, সে হারে। হারার ঘরগুলো ঠিক এই লোভী রানিরাই। বিপরীত কর্ণ বরাবর চালটি বাদ দিলে পাওয়া যায় উইথফের নিম (Wythoff’s Nim), এমন একটি খেলা যা সোনালি অনুপাত দিয়ে নিয়ন্ত্রিত বলে আগেই জানা ছিল।

প্রমাণটি থেকে একটি অসাধারণ মিতব্যয়ী অ্যালগরিদমও পাওয়া যায়। হোর প্রোগ্রাম ১.৭৬ মেগাবাইট মেমোরি ব্যবহার করে প্রায় ২৫ সেকেন্ডে এক হাজার কোটি রানি তৈরি করেছে, যেখানে নুথের প্রোগ্রামের একটি রূপান্তরের লেগেছে ৪৯ সেকেন্ড আর ৬ গিগাবাইটের বেশি। দেখা যাচ্ছে, ছকের প্রতিটি কর্ণে ঠিক একটি করে রানি থাকে।

এআই-এর সাহায্যে খুঁজে পাওয়া

গবেষণাপত্রটি শেষ হয় একটি ঘোষণা দিয়ে: “প্রমাণটি খুঁজে পাওয়া গেছে GPT-6 Pro-র সাহায্যে, যা এই গবেষণাপত্রের প্রাথমিক খসড়াও তৈরি করেছিল।” পরে লেখকের নির্দেশনায় Claude Opus 5.5 দিয়ে এটি সংশোধন করা হয়। একটি প্রশ্ন এখনো খোলা: নুথের আরও আঁটসাঁট নিম্নসীমাগুলো, যা কম্পিউটারে দশ হাজার কোটি কলাম পর্যন্ত নিশ্চিত হয়েছে, এখনো প্রমাণের অপেক্ষায়।