♛ NHỮNG QUÂN HẬU TUÂN THEO TỈ LỆ VÀNG

Hãy lấy một bàn cờ vua kéo dài mãi mãi sang phải và lên trên. Đặt một quân hậu vào góc dưới cùng bên trái. Rồi dịch sang phải một cột và đặt một quân hậu vào ô thấp nhất mà không quân hậu nào trước đó tấn công — không cùng hàng, không cùng đường chéo, không cùng đường chéo ngược. Lặp lại, hết cột này đến cột khác, mãi mãi.

Đây là một quy tắc tham lam (greedy): mỗi quân hậu chiếm vị trí trống đầu tiên mà không tính trước. Các hàng mà nó tạo ra bắt đầu bằng 0, 2, 4, 1, 3, 8, 10, 12, 14, 5, 7, 18, 6, 21, 9… Trông chúng có vẻ lộn xộn. Nhưng không phải vậy.

20 cột đầu tiên. Các quân hậu màu lam lục nằm phía trên đường chéo chính, các quân màu cam nằm bên dưới. — Hình 1, Ho (2026), arXiv:2609.31336.

Hai đường thẳng và một con số nổi tiếng

Vẽ các quân hậu trong một trăm cột đầu tiên, chúng rơi vào hai đường thẳng. Các quân hậu phía trên đường chéo đi lên với độ dốc gần 1,618; các quân phía dưới, với độ dốc gần 0,618. Cả hai con số đều gắn với tỉ lệ vàng, φ = (1 + √5)/2: một đường là y = xφ, đường kia là y = x/φ.

Vị trí các quân hậu trong 100 cột đầu tiên, trên các trục cùng tỉ lệ, với các đường y = xφ và y = x/φ. — Hình 2, Ho (2026), arXiv:2609.31336.

Dãy số này đã có mặt trong Bách khoa toàn thư trực tuyến về dãy số nguyên (OEIS) từ năm 2001. Năm 2020, Michel Dekking, Jeffrey Shallit và Neil Sloane đưa ra giả thuyết rằng các quân hậu không bao giờ lệch khỏi hai đường thẳng này quá một khoảng cách bị chặn. Donald Knuth đã kiểm tra nó bằng số tới một tỉ cột. Chưa ai chứng minh được nó.

Định lý

Boon Suan Ho, thuộc Đại học Quốc gia Singapore, giờ đã chứng minh nó với các cận tường minh. Với mọi cột n:

• một quân hậu phía trên đường chéo cách đường y = xφ ít hơn 5/φ ≈ 3,09 ô;
• một quân hậu phía dưới cách đường y = x/φ ít hơn 4 + 5/φ ≈ 7,09 ô.

Tại sao lại là tỉ lệ vàng? Giả sử một tỉ lệ θ các quân hậu nằm phía trên đường chéo. Đếm cách hai nhóm chia sẻ các hàng và đường chéo buộc θ phải thỏa mãn θ² + θ = 1, mà nghiệm dương là 1/φ. Khó khăn thực sự là chứng minh rằng sai số không bao giờ tăng lên. Mọi thứ quy về một bổ đề then chốt: quân hậu thứ j phía dưới đường chéo luôn nằm trong phạm vi 4 đường chéo tính từ đường chéo dưới thứ j.

Một chứng minh do máy kiểm tra

Để chứng minh bổ đề đó, Ho mô tả bàn cờ trước mỗi cột bằng một “trạng thái cục bộ” nhỏ: vài con số cộng với những từ ngắn trên một bảng chữ cái bốn ký tự, ghi lại vị trí của các quân hậu ở cao. Một “đồ thị lịch sử” hữu hạn gồm các từ 12 ký tự (2.092 đỉnh, 2.603 cạnh) cho biết ký tự nào có thể đứng sau ký tự nào. Sau đó, một máy tính khám phá mọi trạng thái có thể đạt tới từ cột 30: 7.014 trạng thái, trạng thái nào cũng thỏa mãn các cận yêu cầu. Một phép quy nạp cho thấy dãy thực không bao giờ rời khỏi tập hữu hạn này.

Hai chương trình độc lập, không dùng chung dòng mã nào, cùng đạt tới các trạng thái giống nhau. Một bản hình thức hóa bằng trợ lý chứng minh Lean đi kèm bài báo, và toàn bộ mã đều được công khai.

Phần thưởng: một trò chơi và một bộ sinh nhanh

Các quân hậu ẩn chứa một trò chơi. Di chuyển một quân hậu sang trái, xuống dưới, hoặc theo đường chéo về phía bên trái; ai không thể di chuyển nữa thì thua. Các ô thua chính xác là vị trí của các quân hậu tham lam. Bỏ nước đi theo đường chéo ngược, ta được Wythoff’s Nim, một trò chơi đã được biết là bị chi phối bởi tỉ lệ vàng.

Chứng minh này cũng cho ra một thuật toán tiết kiệm đáng kinh ngạc. Chương trình của Ho đã sinh ra mười tỉ quân hậu trong khoảng 25 giây, dùng 1,76 megabyte bộ nhớ, so với 49 giây và hơn 6 gigabyte của một bản phỏng theo chương trình của Knuth. Hóa ra, mỗi đường chéo của bàn cờ chứa đúng một quân hậu.

Tìm ra cùng AI

Bài báo kết thúc bằng một lời tuyên bố: “Chứng minh được tìm ra với GPT-6 Pro, mô hình này cũng đã soạn bản nháp đầu tiên của bài báo.” Sau đó, bài được chỉnh sửa với Claude Opus 5.5 dưới sự chỉ đạo của tác giả. Vẫn còn một câu hỏi bỏ ngỏ: các cận dưới chặt hơn của Knuth, đã được máy tính xác nhận tới một trăm tỉ cột, vẫn đang chờ được chứng minh.