♛ ALTIN ORANA UYAN SATRANÇ VEZİRLERİ
Sağa ve yukarıya doğru sonsuza kadar uzanan bir satranç tahtası alın. Sol alt köşeye bir vezir koyun. Sonra bir sütun sağa geçin ve önceki hiçbir vezirin tehdit etmediği en alttaki kareye bir vezir yerleştirin: aynı satırda değil, aynı köşegende değil, aynı ters köşegende değil. Sütun sütun, sonsuza kadar tekrarlayın.
Bu açgözlü (greedy) bir kuraldır: her vezir ileriyi planlamadan ilk boş yeri alır. Ortaya çıkan satırlar şöyle başlar: 0, 2, 4, 1, 3, 8, 10, 12, 14, 5, 7, 18, 6, 21, 9… Düzensiz görünürler. Ama değiller.
İlk 20 sütun. Camgöbeği vezirler ana köşegenin üzerinde, turuncular altında yer alıyor. — Şekil 1, Ho (2026), arXiv:2609.31336.
İki doğru ve ünlü bir sayı
Vezirleri ilk yüz sütun boyunca çizin: iki düz doğru üzerine düşerler. Köşegenin üzerindeki vezirler 1,618’e yakın bir eğimle yükselir; altındakiler 0,618’e yakın bir eğimle. İki sayı da altın orana, φ = (1 + √5)/2’ye bağlıdır: doğrulardan biri y = xφ, diğeri y = x/φ.
İlk 100 sütun için vezir konumları, eşit ölçekli eksenlerde, y = xφ ve y = x/φ doğrularıyla birlikte. — Şekil 2, Ho (2026), arXiv:2609.31336.
Dizi 2001’den beri Çevrimiçi Tam Sayı Dizileri Ansiklopedisi’nde (OEIS) yer alıyor. 2020’de Michel Dekking, Jeffrey Shallit ve Neil Sloane, vezirlerin bu iki doğrudan hiçbir zaman sınırlı bir mesafeden fazla uzaklaşmadığını varsaydılar. Donald Knuth bunu bir milyar sütuna kadar sayısal olarak doğruladı. Kimse kanıtlayamamıştı.
Teorem
Singapur Ulusal Üniversitesi’nden Boon Suan Ho şimdi bunu açık sınırlarla kanıtlıyor. Her n sütunu için:
- köşegenin üzerindeki bir vezir, y = xφ doğrusuna 5/φ ≈ 3,09 kareden daha yakındır;
- altındaki bir vezir, y = x/φ doğrusuna 4 + 5/φ ≈ 7,09 kareden daha yakındır.
Neden altın oran? Vezirlerin θ kadarlık bir kesrinin köşegenin üzerinde olduğunu varsayalım. İki ailenin satırları ve köşegenleri nasıl paylaştığını saymak, θ’yı θ² + θ = 1 denklemini sağlamaya zorlar; bu denklemin pozitif çözümü 1/φ’dir. Asıl zorluk, hatanın hiçbir zaman büyümediğini göstermektir. Her şey tek bir kilit önermeye (lemma) dayanıyor: köşegenin altındaki j’inci vezir her zaman j’inci alt köşegenin 4 köşegen yakınında bulunur.
Makineyle doğrulanan bir kanıt
Bu önermeyi kanıtlamak için Ho, her sütundan önceki tahtayı küçük bir “yerel durumla” betimliyor: birkaç sayı ve yüksekteki vezirlerin nerede olduğunu kaydeden, dört harfli bir alfabede yazılmış kısa sözcükler. 12 harfli sözcüklerden oluşan sonlu bir “geçmiş grafiği” (2.092 köşe, 2.603 kenar), hangi harfin hangisini izleyebileceğini söylüyor. Ardından bir bilgisayar, 30. sütundan ulaşılabilen tüm durumları tarıyor: 7.014 durum, hepsi gereken sınırlara uyuyor. Tümevarımla gerçek dizinin bu sonlu kümeden hiç çıkmadığı gösteriliyor.
Hiç kod paylaşmayan iki bağımsız program aynı durumlara ulaşıyor. Makaleye Lean ispat asistanında bir formalizasyon eşlik ediyor ve tüm kod herkese açık.
Bonus: bir oyun ve hızlı bir üreteç
Vezirlerin içinde bir oyun saklı. Tek bir veziri sola, aşağıya ya da sola doğru çapraz olarak hareket ettirin; hamle yapamayan kaybeder. Kaybettiren kareler tam olarak açgözlü vezirlerdir. Ters köşegen hamlesini kaldırırsanız, zaten altın oranın yönettiği bilinen bir oyun olan Wythoff Nim’ini elde edersiniz.
Kanıt ayrıca dikkat çekici derecede tutumlu bir algoritma da sağlıyor. Ho’nun programı on milyar veziri yaklaşık 25 saniyede, 1,76 megabayt bellek kullanarak üretti; Knuth’un programının bir uyarlaması ise 49 saniye ve 6 gigabayttan fazla bellek gerektirdi. Üstelik tahtanın her köşegeninde tam olarak bir vezir bulunduğu ortaya çıkıyor.
Bir yapay zekâyla bulundu
Makale bir beyanla sona eriyor: “Kanıt, bu makalenin ilk taslağını da üreten GPT-6 Pro ile bulundu.” Metin daha sonra yazarın yönlendirmesiyle Claude Opus 5.5 kullanılarak gözden geçirildi. Bir soru açık kalıyor: Knuth’un yüz milyar sütuna kadar bilgisayarla doğrulanmış daha sıkı alt sınırları hâlâ bir kanıt bekliyor.