♛ SCHACHDAMEN, DIE DEM GOLDENEN SCHNITT FOLGEN
Nehmen Sie ein Schachbrett, das sich endlos nach rechts und nach oben erstreckt. Stellen Sie eine Dame in die linke untere Ecke. Gehen Sie dann eine Spalte nach rechts und stellen Sie eine Dame auf das tiefste Feld, das keine frühere Dame angreift — nicht in derselben Reihe, nicht auf derselben Diagonale, nicht auf derselben Antidiagonale. Wiederholen Sie das, Spalte für Spalte, endlos.
Das ist eine gierige Regel: Jede Dame nimmt den ersten freien Platz, ohne vorauszuplanen. Die Reihen, die dabei entstehen, beginnen mit 0, 2, 4, 1, 3, 8, 10, 12, 14, 5, 7, 18, 6, 21, 9 … Sie wirken regellos. Das sind sie nicht.
Die ersten 20 Spalten. Blaugrüne Damen stehen oberhalb der Hauptdiagonale, orangefarbene darunter. — Abbildung 1, Ho (2026), arXiv:2609.31336.
Zwei Geraden und eine berühmte Zahl
Trägt man die Damen der ersten hundert Spalten auf, fallen sie auf zwei Geraden. Die Damen oberhalb der Diagonale steigen mit einer Steigung nahe 1,618, die darunter mit einer Steigung nahe 0,618. Beide Zahlen hängen mit dem Goldenen Schnitt zusammen, φ = (1 + √5)/2: Die eine Gerade ist y = xφ, die andere y = x/φ.
Die Damenpositionen für die ersten 100 Spalten, auf gleich skalierten Achsen, mit den Geraden y = xφ und y = x/φ. — Abbildung 2, Ho (2026), arXiv:2609.31336.
Die Folge steht seit 2001 in der On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. 2020 vermuteten Michel Dekking, Jeffrey Shallit und Neil Sloane, dass sich die Damen nie mehr als einen beschränkten Abstand von diesen beiden Geraden entfernen. Donald Knuth prüfte das numerisch bis zu einer Milliarde Spalten. Bewiesen hatte es niemand.
Der Satz
Boon Suan Ho von der National University of Singapore beweist es nun mit expliziten Schranken. Für jede Spalte n gilt:
- Eine Dame oberhalb der Diagonale ist weniger als 5/φ ≈ 3,09 Felder von der Geraden y = xφ entfernt;
- eine Dame darunter ist weniger als 4 + 5/φ ≈ 7,09 Felder von der Geraden y = x/φ entfernt.
Warum der Goldene Schnitt? Angenommen, ein Anteil θ der Damen steht oberhalb der Diagonale. Zählt man, wie sich die beiden Familien Reihen und Diagonalen teilen, muss θ die Gleichung θ² + θ = 1 erfüllen, deren positive Lösung 1/φ ist. Die eigentliche Schwierigkeit besteht darin zu zeigen, dass der Fehler nie wächst. Alles läuft auf ein Schlüssellemma hinaus: Die j-te Dame unterhalb der Diagonale liegt stets innerhalb von 4 Diagonalen von der j-ten unteren Diagonale.
Ein maschinell geprüfter Beweis
Um dieses Lemma zu beweisen, beschreibt Ho das Brett vor jeder Spalte durch einen kleinen „lokalen Zustand“: ein paar Zahlen plus kurze Wörter in einem Vier-Buchstaben-Alphabet, die festhalten, wo die hohen Damen stehen. Ein endlicher „Verlaufsgraph“ aus Wörtern mit 12 Buchstaben (2.092 Knoten, 2.603 Kanten) legt fest, welche Buchstaben auf welche folgen dürfen. Ein Computer erkundet dann jeden ab Spalte 30 erreichbaren Zustand: 7.014 Zustände, die allesamt die geforderten Schranken einhalten. Eine Induktion zeigt, dass die echte Folge diese endliche Menge nie verlässt.
Zwei unabhängige Programme ohne gemeinsamen Code gelangen zu denselben Zuständen. Eine Formalisierung im Beweisassistenten Lean begleitet die Arbeit, und der gesamte Code ist öffentlich.
Zugabe: ein Spiel und ein schneller Generator
In den Damen steckt ein Spiel. Man zieht eine einzelne Dame nach links, nach unten oder diagonal nach links; wer nicht mehr ziehen kann, verliert. Die Verlustfelder sind genau die gierigen Damen. Lässt man den Zug entlang der Antidiagonale weg, erhält man Wythoffs Nim, ein Spiel, von dem man schon weiß, dass es vom Goldenen Schnitt beherrscht wird.
Der Beweis liefert außerdem einen bemerkenswert sparsamen Algorithmus. Hos Programm erzeugte zehn Milliarden Damen in etwa 25 Sekunden mit 1,76 Megabyte Speicher, gegenüber 49 Sekunden und über 6 Gigabyte für eine Anpassung von Knuths Programm. Jede Diagonale des Bretts, so zeigt sich, enthält genau eine Dame.
Mit einer KI gefunden
Die Arbeit endet mit einer Erklärung: „Der Beweis wurde mit GPT-6 Pro gefunden, das auch einen ersten Entwurf dieser Arbeit erstellte.“ Später wurde sie unter Anleitung des Autors mit Claude Opus 5.5 überarbeitet. Eine Frage bleibt offen: Knuths schärfere untere Schranken, per Computer bis zu hundert Milliarden Spalten bestätigt, warten noch auf einen Beweis.