♛ 黄金比に従うチェスのクイーン

右と上に永遠に広がるチェス盤を考えよう。左下の隅にクイーンを置く。次に1列右へ移り、それまでのどのクイーンにも攻撃されない最も低いマスにクイーンを置く。同じ行でも、同じ対角線上でも、同じ逆対角線上でもない場所だ。これを1列ずつ、永遠に繰り返す。

これは貪欲(greedy)な規則である。各クイーンは先のことを考えずに、最初に空いている場所を取る。こうして得られる行の番号は、0, 2, 4, 1, 3, 8, 10, 12, 14, 5, 7, 18, 6, 21, 9…と始まる。でたらめに見えるが、そうではない。

最初の20列。ティール色のクイーンは主対角線の上に、オレンジ色のクイーンはその下にある。— 図1、Ho (2026), arXiv:2609.31336.

2本の直線と有名な数

最初の100列のクイーンをプロットすると、2本の直線の上に並ぶ。対角線より上のクイーンは1.618に近い傾きで上り、下のクイーンは0.618に近い傾きで上る。どちらの数も黄金比φ = (1 + √5)/2と結びついている。一方の直線はy = xφ、もう一方はy = x/φだ。

最初の100列のクイーンの位置を、縦横同じ縮尺の軸上に、直線y = xφとy = x/φとともに示したもの。— 図2、Ho (2026), arXiv:2609.31336.

この数列は2001年から「オンライン整数列大辞典」(OEIS)に収録されている。2020年、ミシェル・デッキング、ジェフリー・シャリット、ニール・スローンは、クイーンがこの2本の直線から一定の距離以上離れることはないと予想した。ドナルド・クヌースは10億列まで数値的に確認した。だが、誰も証明していなかった。

定理

シンガポール国立大学のBoon Suan Hoが、いま明示的な上界つきでこれを証明した。すべての列nについて、

• 対角線より上のクイーンは、直線y = xφから5/φ ≈ 3.09マス未満の距離にある。
• 対角線より下のクイーンは、直線y = x/φから4 + 5/φ ≈ 7.09マス未満の距離にある。

なぜ黄金比なのか。クイーンのうち割合θが対角線より上にあるとしよう。2つのグループが行と対角線をどう分け合うかを数えると、θはθ² + θ = 1を満たさなければならず、その正の解は1/φである。本当に難しいのは、誤差が決して大きくならないことを示す点だ。すべては1つの鍵となる補題に帰着する。対角線より下のj番目のクイーンは、常にj番目の下側の対角線から4本の対角線以内にある、というものだ。

機械が検証した証明

この補題を証明するために、Hoは各列の直前の盤面を小さな「局所状態」で記述する。いくつかの数と、上側のクイーンがどこにあるかを記録する4文字のアルファベットによる短い単語だ。12文字の単語からなる有限の「履歴グラフ」(頂点2,092個、辺2,603本)が、どの文字のあとにどの文字が続きうるかを定める。そしてコンピューターが、30列目から到達可能なすべての状態を探索する。7,014個の状態があり、そのすべてが必要な上界を満たしていた。帰納法によって、実際の数列がこの有限集合から決して出ないことが示される。

コードを一切共有しない2つの独立したプログラムが、同じ状態に到達する。証明支援系Leanによる形式化が論文に添えられており、コードはすべて公開されている。

おまけ:ゲームと高速生成器

クイーンにはゲームが隠れている。1つのクイーンを左、下、または左方向の斜めに動かす。動かせなくなった人が負けだ。負けとなるマスは、ちょうど貪欲なクイーンの位置と一致する。逆対角線方向の動きを除くと、すでに黄金比に支配されていることが知られているゲーム「ワイトホフのニム」(Wythoff’s Nim)になる。

証明からは、驚くほど省資源なアルゴリズムも得られる。Hoのプログラムは、1.76メガバイトのメモリで100億個のクイーンを約25秒で生成した。これに対し、クヌースのプログラムを改変したものでは49秒と6ギガバイト超が必要だった。実は、盤の各対角線にはちょうど1つずつクイーンがあるのだ。

AIとともに見つけた証明

論文は次の宣言で締めくくられている。「この証明はGPT-6 Proを用いて見つけられた。GPT-6 Proはこの論文の初稿も作成した」。その後、著者の指示のもとでClaude Opus 5.5を使って改訂された。1つの問いが未解決のまま残っている。コンピューターで1,000億列まで確認されたクヌースのより厳しい下界は、いまだ証明を待っている。