♛ شطرنج دیاں وزیراں جیہڑیاں سنہری نسبت دے پچھے چلدیاں نیں

اک شطرنج دی بساط لوو جیہڑی سجے تے اتے ول ہمیشہ لئی پھیلی ہوئی اے۔ تھلے کھبے کونے وچ اک وزیر رکھو۔ فیر اک کالم سجے ول جاؤ تے اک وزیر اوس سب توں تھلے والے خانے اتے رکھو جیہنوں پچھلی کوئی وزیر نہیں مار رہی — نہ اوسے قطار وچ، نہ اوسے ترچھی لکیر اتے، نہ اوسے الٹی ترچھی لکیر اتے۔ کالم بعد کالم، ہمیشہ لئی دہراؤ۔

ایہہ اک لالچی (greedy) اصول اے: ہر وزیر اگانہہ دی سوچے بغیر پہلی خالی تھاں لے لیندی اے۔ ایہدے نال بنن والیاں قطاراں انج شروع ہوندیاں نیں: 0, 2, 4, 1, 3, 8, 10, 12, 14, 5, 7, 18, 6, 21, 9… ایہہ بے ترتیب لگدیاں نیں۔ پر نہیں نیں۔

پہلے 20 کالم۔ ٹیل رنگ دیاں وزیراں وڈی ترچھی لکیر توں اتے نیں، سنگتری تھلے۔ — شکل 1، Ho (2026)، arXiv:2609.31336۔

دو لکیراں تے اک مشہور انگ

پہلے سو کالماں وچ وزیراں نوں گراف اتے لاؤ تے اوہ دو سدھیاں لکیراں اتے آ جاندیاں نیں۔ ترچھی لکیر توں اتلیاں وزیراں 1.618 دے نیڑے ڈھلوان نال چڑھدیاں نیں؛ تھلے والیاں 0.618 دے نیڑے ڈھلوان نال۔ دوویں انگ سنہری نسبت (golden ratio)، φ = (1 + √5)/2، نال جڑے نیں: اک لکیر y = xφ اے، دوجی y = x/φ۔

پہلے 100 کالماں لئی وزیراں دیاں تھاواں، برابر پیمانے والے محوراں اتے، y = xφ تے y = x/φ لکیراں نال۔ — شکل 2، Ho (2026)، arXiv:2609.31336۔

ایہہ لڑی 2001 توں On-Line Encyclopedia of Integer Sequences وچ اے۔ 2020 وچ Michel Dekking، Jeffrey Shallit تے Neil Sloane نے اندازہ لایا کہ وزیراں ایہناں دو لکیراں توں کدی اک حد والے فاصلے توں ودھ دور نہیں جاندیاں۔ Donald Knuth نے اک ارب کالماں تیکر ایہنوں انگاں نال پرکھیا۔ کسے نے ایہنوں ثابت نہیں سی کیتا۔

مسئلہ (تھیورم)

National University of Singapore دا Boon Suan Ho ہن ایہنوں صاف حداں نال ثابت کردا اے۔ ہر کالم n لئی:

• ترچھی لکیر توں اتلی وزیر y = xφ لکیر توں 5/φ ≈ 3.09 خانیاں توں گھٹ دور اے؛
• تھلے والی وزیر y = x/φ لکیر توں 4 + 5/φ ≈ 7.09 خانیاں توں گھٹ دور اے۔

سنہری نسبت ای کیوں؟ منّ لوو کہ وزیراں دا اک حصہ θ ترچھی لکیر توں اتے اے۔ ایہہ گنن نال کہ دوویں ٹبر قطاراں تے ترچھیاں لکیراں کیویں ونڈدے نیں، θ نوں θ² + θ = 1 پوری کرنی پیندی اے، جیہدا مثبت حل 1/φ اے۔ اصل اوکڑ ایہہ وکھانا اے کہ غلطی کدی نہیں ودھدی۔ سب کجھ اک مکھ لیما اتے آ کے رکدا اے: ترچھی لکیر توں تھلے j-ویں وزیر ہمیشہ j-ویں تھلے والی ترچھی لکیر توں 4 ترچھیاں لکیراں دے اندر ہوندی اے۔

مشین نال پرکھیا ثبوت

ایس لیما نوں ثابت کرن لئی، Ho ہر کالم توں پہلاں بساط نوں اک نکی «مقامی حالت» نال بیان کردا اے: کجھ انگ تے چار اکھراں والی ابجد وچ چھوٹے لفظ جیہڑے لکھدے نیں کہ اچیاں وزیراں کتھے نیں۔ 12 اکھراں والے لفظاں دا اک محدود «تاریخ گراف» (2,092 کونے، 2,603 کنارے) دسدا اے کہ کیہڑا اکھر کیہڑے دے مگروں آ سکدا اے۔ فیر اک کمپیوٹر کالم 30 توں اپڑن جوگیاں ساریاں حالتاں چھاندا اے: 7,014 حالتاں، ہر اک لوڑیندیاں حداں دی پابند۔ اک استقرا (induction) وکھاندا اے کہ اصل لڑی کدی ایس محدود سیٹ توں باہر نہیں جاندی۔

دو آزاد پروگرام، جیہڑے کوئی کوڈ سانجھا نہیں کردے، اوہناں ای حالتاں تیکر اپڑدے نیں۔ Lean ثبوت مددگار وچ اک باقاعدہ شکل مقالے دے نال اے، تے سارا کوڈ سب لئی کھلا اے۔

وادھو: اک کھیڈ تے اک تیز جنریٹر

وزیراں وچ اک کھیڈ لکی ہوئی اے۔ اک وزیر نوں کھبے، تھلے، یا ترچھا کھبے ول ہلاؤ؛ جیہڑا ہل نہ سکے اوہ ہار جاندا اے۔ ہارن والے خانے ٹھیک ٹھیک لالچی وزیراں نیں۔ الٹی ترچھی چال کڈھ دیو تے تہانوں Wythoff’s Nim لبھدی اے، اک کھیڈ جیہدے بارے پہلاں ای پتا سی کہ اوہدے اتے سنہری نسبت دا راج اے۔

ثبوت اک کمال دا کفایتی الگورتھم وی دیندا اے۔ Ho دے پروگرام نے دس ارب وزیراں لگ بھگ 25 سیکنڈاں وچ 1.76 میگابائٹ میموری ورت کے بنائیاں، جدوں کہ Knuth دے پروگرام دی اک بدلی ہوئی شکل نوں 49 سیکنڈ تے 6 گیگابائٹ توں ودھ لگے۔ پتا لگدا اے کہ بساط دی ہر ترچھی لکیر اتے ٹھیک اک وزیر اے۔

اک AI نال لبھیا

مقالہ اک اعلان نال مکدا اے: «ثبوت GPT-6 Pro نال لبھیا گیا، جیہنے ایس مقالے دا پہلا کچا خاکہ وی بنایا۔» بعد وچ ایہنوں لکھاری دی اگوائی ہیٹھ Claude Opus 5.5 نال سودھیا گیا۔ اک سوال حالے کھلا اے: Knuth دیاں ودھ کسیاں تھلیاں حداں، جیہڑیاں کمپیوٹر نے سو ارب کالماں تیکر پکیاں کیتیاں، حالے وی ثبوت دی اڈیک وچ نیں۔