♛ DAMAS DE AJEDREZ QUE SIGUEN EL NÚMERO ÁUREO
Toma un tablero de ajedrez que se extiende sin fin hacia la derecha y hacia arriba. Coloca una dama en la esquina inferior izquierda. Luego avanza una columna a la derecha y coloca una dama en la casilla más baja que ninguna dama anterior ataque: ni en la misma fila, ni en la misma diagonal, ni en la misma antidiagonal. Repite, columna tras columna, para siempre.
Es una regla voraz (greedy): cada dama ocupa el primer hueco libre sin planificar nada. Las filas que produce empiezan por 0, 2, 4, 1, 3, 8, 10, 12, 14, 5, 7, 18, 6, 21, 9… Parecen erráticas. No lo son.
Las 20 primeras columnas. Las damas verde azulado quedan por encima de la diagonal principal; las naranjas, por debajo. — Figura 1, Ho (2026), arXiv:2609.31336.
Dos rectas y un número famoso
Si se representan las damas de las cien primeras columnas, caen sobre dos líneas rectas. Las damas situadas por encima de la diagonal suben con una pendiente cercana a 1,618; las de abajo, con una pendiente cercana a 0,618. Ambos números están ligados al número áureo, φ = (1 + √5)/2: una recta es y = xφ y la otra, y = x/φ.
Las posiciones de las damas en las 100 primeras columnas, con ejes a la misma escala, junto con las rectas y = xφ e y = x/φ. — Figura 2, Ho (2026), arXiv:2609.31336.
La sucesión figura en la Enciclopedia en línea de sucesiones de números enteros (OEIS) desde 2001. En 2020, Michel Dekking, Jeffrey Shallit y Neil Sloane conjeturaron que las damas nunca se alejan de estas dos rectas más de una distancia acotada. Donald Knuth lo comprobó numéricamente hasta mil millones de columnas. Nadie lo había demostrado.
El teorema
Boon Suan Ho, de la Universidad Nacional de Singapur, lo demuestra ahora con cotas explícitas. Para toda columna n:
- una dama por encima de la diagonal está a menos de 5/φ ≈ 3,09 casillas de la recta y = xφ;
- una dama por debajo está a menos de 4 + 5/φ ≈ 7,09 casillas de la recta y = x/φ.
¿Por qué el número áureo? Supongamos que una fracción θ de las damas queda por encima de la diagonal. Contar cómo se reparten las dos familias filas y diagonales obliga a θ a cumplir θ² + θ = 1, cuya solución positiva es 1/φ. La verdadera dificultad es demostrar que el error nunca crece. Todo se reduce a un lema clave: la j-ésima dama por debajo de la diagonal siempre se encuentra a menos de 4 diagonales de la j-ésima diagonal inferior.
Una prueba verificada por máquina
Para demostrar ese lema, Ho describe el tablero antes de cada columna mediante un pequeño «estado local»: unos cuantos números más palabras cortas en un alfabeto de cuatro letras que registran dónde están las damas altas. Un «grafo de historia» finito de palabras de 12 letras (2092 vértices, 2603 aristas) indica qué letras pueden seguir a cuáles. Después, un ordenador explora todos los estados alcanzables desde la columna 30: 7014 estados, y todos respetan las cotas exigidas. Una inducción muestra que la sucesión real nunca sale de este conjunto finito.
Dos programas independientes, que no comparten código, llegan a los mismos estados. El artículo va acompañado de una formalización en el asistente de demostración Lean, y todo el código es público.
Extra: un juego y un generador rápido
Las damas esconden un juego. Se mueve una sola dama hacia la izquierda, hacia abajo o en diagonal hacia la izquierda; quien no puede mover pierde. Las casillas perdedoras son exactamente las damas voraces. Si se suprime el movimiento por la antidiagonal, se obtiene el Nim de Wythoff, un juego del que ya se sabía que está gobernado por el número áureo.
La prueba aporta además un algoritmo notablemente frugal. El programa de Ho generó diez mil millones de damas en unos 25 segundos con 1,76 megabytes de memoria, frente a 49 segundos y más de 6 gigabytes para una adaptación del programa de Knuth. Resulta que cada diagonal del tablero contiene exactamente una dama.
Hallada con una IA
El artículo termina con una declaración: «La prueba se encontró con GPT-6 Pro, que también produjo un primer borrador de este artículo». Después se revisó con Claude Opus 5.5 bajo la dirección del autor. Queda una cuestión abierta: las cotas inferiores más ajustadas de Knuth, confirmadas por ordenador hasta cien mil millones de columnas, siguen esperando una demostración.