♛ MALKIA WA CHESI WANAOFUATA UWIANO WA DHAHABU

Chukua ubao wa chesi unaoenea milele kuelekea kulia na juu. Weka malkia kwenye pembe ya chini kushoto. Kisha songa safu wima moja kulia na uweke malkia kwenye kisanduku cha chini kabisa ambacho hakishambuliwi na malkia yeyote wa awali — si kwenye mstari mlalo uleule, si kwenye ulalo uleule, si kwenye ulalo-kinyume uleule. Rudia, safu baada ya safu, milele.

Hii ni kanuni ya uchoyo (greedy): kila malkia huchukua nafasi ya kwanza iliyo wazi bila kupanga mbele. Mistari mlalo inayotokana nayo huanza 0, 2, 4, 1, 3, 8, 10, 12, 14, 5, 7, 18, 6, 21, 9… Inaonekana kuwa ya ovyo. Lakini sivyo.

Gridi ya ubao wa chesi yenye malkia wa rangi ya samawati-kijani wanaopanda kwa kasi juu ya ulalo na malkia wa rangi ya chungwa chini yake, kwa safu 20 za kwanza.

Safu 20 za kwanza. Malkia wa samawati-kijani wako juu ya ulalo mkuu, wa rangi ya chungwa chini yake. — Kielelezo 1, Ho (2026), arXiv:2609.31336.

Mistari miwili na namba maarufu

Chora malkia katika safu mia za kwanza na wanaangukia kwenye mistari miwili iliyonyooka. Malkia walio juu ya ulalo hupanda kwa mteremko ulio karibu na 1.618; walio chini, kwa mteremko ulio karibu na 0.618. Namba zote mbili zinafungamana na uwiano wa dhahabu (golden ratio), φ = (1 + √5)/2: mstari mmoja ni y = xφ, mwingine y = x/φ.

Nafasi za malkia katika safu mia za kwanza, zikifanya mistari miwili iliyonyooka iliyoandikwa y sawa na x phi na y sawa na x gawanya kwa phi.

Nafasi za malkia katika safu 100 za kwanza, kwenye mihimili yenye vipimo sawa, pamoja na mistari y = xφ na y = x/φ. — Kielelezo 2, Ho (2026), arXiv:2609.31336.

Mfuatano huu umekuwa katika Ensaiklopidia ya Mtandaoni ya Mifuatano ya Namba Kamili (OEIS) tangu 2001. Mwaka 2020, Michel Dekking, Jeffrey Shallit na Neil Sloane walikisia kwamba malkia hawapotoki kamwe zaidi ya umbali wenye kikomo kutoka kwenye mistari hii miwili. Donald Knuth alilikagua kwa hesabu hadi safu bilioni moja. Hakuna aliyekuwa amelithibitisha.

Nadharia

Boon Suan Ho, wa National University of Singapore, sasa analithibitisha kwa mipaka iliyo bayana. Kwa kila safu n:

malkia aliye juu ya ulalo yuko umbali wa chini ya 5/φ ≈ 3.09 visanduku kutoka mstari y = xφ;
malkia aliye chini yake yuko umbali wa chini ya 4 + 5/φ ≈ 7.09 visanduku kutoka mstari y = x/φ.

Kwa nini uwiano wa dhahabu? Tuseme sehemu θ ya malkia wako juu ya ulalo. Kuhesabu jinsi familia hizo mbili zinavyoshiriki mistari mlalo na ulalo kunailazimisha θ kutimiza θ² + θ = 1, ambayo suluhisho lake chanya ni 1/φ. Ugumu halisi ni kuonyesha kwamba kosa haliongezeki kamwe. Kila kitu kinategemea leama (lemma) moja muhimu: malkia wa j aliye chini ya ulalo daima yuko ndani ya ulalo 4 kutoka ulalo wa chini wa j.

Uthibitisho uliokaguliwa na mashine

Ili kuthibitisha leama hiyo, Ho anaueleza ubao kabla ya kila safu kwa ‘hali ya kienyeji’ ndogo: namba chache pamoja na maneno mafupi katika alfabeti ya herufi nne yanayorekodi walipo malkia wa juu. ‘Grafu ya historia’ yenye kikomo ya maneno ya herufi 12 (vipeo 2,092, kingo 2,603) inaeleza ni herufi gani zinaweza kufuata zipi. Kisha kompyuta huchunguza kila hali inayofikika kuanzia safu ya 30: hali 7,014, kila moja ikiheshimu mipaka inayohitajika. Uthibitisho kwa induksheni (induction) unaonyesha kwamba mfuatano halisi hautoki kamwe kwenye seti hii yenye kikomo.

Programu mbili huru, zisizoshiriki msimbo wowote, zinafikia hali zilezile. Urasimishaji katika msaidizi wa uthibitisho Lean unaambatana na makala, na msimbo wote uko wazi kwa umma.

Ziada: mchezo na kizalishaji cha kasi

Malkia hawa wameficha mchezo ndani yao. Sogeza malkia mmoja kushoto, chini, au kwa ulalo kuelekea kushoto; asiyeweza kusogeza anashindwa. Visanduku vya kushindwa ni hasa malkia wa uchoyo. Ondoa msogeo wa ulalo-kinyume na unapata Wythoff’s Nim, mchezo unaojulikana tayari kutawaliwa na uwiano wa dhahabu.

Uthibitisho huu pia unazaa algorithimu yenye ubanaji wa ajabu. Programu ya Ho ilizalisha malkia bilioni kumi kwa takriban sekunde 25 ikitumia megabaiti 1.76 za kumbukumbu, ikilinganishwa na sekunde 49 na zaidi ya gigabaiti 6 kwa toleo lililorekebishwa la programu ya Knuth. Kila ulalo wa ubao, inabainika, una malkia mmoja tu kamili.

Imepatikana kwa AI

Makala inamalizika kwa tamko: “Uthibitisho ulipatikana kwa GPT-6 Pro, ambayo pia ilitoa rasimu ya awali ya makala hii.” Baadaye ilirekebishwa kwa Claude Opus 5.5 chini ya uelekezi wa mwandishi. Swali moja linabaki wazi: mipaka ya chini iliyobana zaidi ya Knuth, iliyothibitishwa na kompyuta hadi safu bilioni mia moja, bado inasubiri uthibitisho.