♛ DAMAS DE XADREZ QUE SEGUEM A RAZÃO ÁUREA
Pegue um tabuleiro de xadrez que se estende para sempre para a direita e para cima. Coloque uma dama no canto inferior esquerdo. Depois avance uma coluna para a direita e coloque uma dama na casa mais baixa que nenhuma dama anterior ataca — nem na mesma linha, nem na mesma diagonal, nem na mesma antidiagonal. Repita, coluna após coluna, para sempre.
É uma regra gulosa: cada dama ocupa o primeiro lugar livre, sem planejar nada. As linhas que ela produz começam por 0, 2, 4, 1, 3, 8, 10, 12, 14, 5, 7, 18, 6, 21, 9… Parecem erráticas. Não são.
As primeiras 20 colunas. As damas verde-azuladas ficam acima da diagonal principal; as laranja, abaixo. — Figura 1, Ho (2026), arXiv:2609.31336.
Duas retas e um número famoso
Marque as damas das cem primeiras colunas e elas caem sobre duas retas. As damas acima da diagonal sobem com uma inclinação próxima de 1,618; as de baixo, com uma inclinação próxima de 0,618. Os dois números estão ligados à razão áurea, φ = (1 + √5)/2: uma reta é y = xφ, a outra, y = x/φ.
As posições das damas nas 100 primeiras colunas, em eixos de mesma escala, com as retas y = xφ e y = x/φ. — Figura 2, Ho (2026), arXiv:2609.31336.
A sequência está na Enciclopédia On-Line de Sequências de Inteiros (OEIS) desde 2001. Em 2020, Michel Dekking, Jeffrey Shallit e Neil Sloane conjecturaram que as damas nunca se afastam dessas duas retas mais do que uma distância limitada. Donald Knuth verificou isso numericamente até um bilhão de colunas. Ninguém tinha demonstrado.
O teorema
Boon Suan Ho, da Universidade Nacional de Singapura, agora o demonstra com limites explícitos. Para toda coluna n:
- uma dama acima da diagonal está a menos de 5/φ ≈ 3,09 casas da reta y = xφ;
- uma dama abaixo dela está a menos de 4 + 5/φ ≈ 7,09 casas da reta y = x/φ.
Por que a razão áurea? Suponha que uma fração θ das damas fique acima da diagonal. Contar como as duas famílias dividem linhas e diagonais obriga θ a satisfazer θ² + θ = 1, cuja solução positiva é 1/φ. A verdadeira dificuldade é mostrar que o erro nunca cresce. Tudo se reduz a um lema-chave: a j-ésima dama abaixo da diagonal fica sempre a até 4 diagonais da j-ésima diagonal inferior.
Uma prova verificada por máquina
Para demonstrar esse lema, Ho descreve o tabuleiro antes de cada coluna por um pequeno “estado local”: alguns números mais palavras curtas num alfabeto de quatro letras que registram onde estão as damas altas. Um “grafo de histórico” finito de palavras de 12 letras (2.092 vértices, 2.603 arestas) diz quais letras podem seguir quais. Um computador então explora todos os estados alcançáveis a partir da coluna 30: 7.014 estados, todos respeitando os limites exigidos. Uma indução mostra que a sequência real nunca sai desse conjunto finito.
Dois programas independentes, sem nenhum código em comum, chegam aos mesmos estados. Uma formalização no assistente de provas Lean acompanha o artigo, e todo o código é público.
Bônus: um jogo e um gerador rápido
As damas escondem um jogo. Mova uma única dama para a esquerda, para baixo ou na diagonal em direção à esquerda; quem não puder mover perde. As casas perdedoras são exatamente as damas gulosas. Retire o movimento na antidiagonal e se obtém o Nim de Wythoff, um jogo já conhecido por ser regido pela razão áurea.
A prova também fornece um algoritmo notavelmente econômico. O programa de Ho gerou dez bilhões de damas em cerca de 25 segundos usando 1,76 megabyte de memória, contra 49 segundos e mais de 6 gigabytes para uma adaptação do programa de Knuth. Cada diagonal do tabuleiro, descobre-se, contém exatamente uma dama.
Encontrada com uma IA
O artigo termina com uma declaração: “A prova foi encontrada com o GPT-6 Pro, que também produziu um primeiro rascunho deste artigo.” Ele foi depois revisado com o Claude Opus 5.5 sob a direção do autor. Uma questão continua em aberto: os limites inferiores mais apertados de Knuth, confirmados por computador até cem bilhões de colunas, ainda aguardam uma prova.