♛ DES DAMES D'ÉCHECS QUI SUIVENT LE NOMBRE D'OR
Prenez un échiquier qui s’étend à l’infini vers la droite et vers le haut. Posez une dame dans le coin inférieur gauche. Puis passez à la colonne suivante et posez une dame sur la case la plus basse qu’aucune dame précédente n’attaque — ni sur la même rangée, ni sur la même diagonale, ni sur la même antidiagonale. Recommencez, colonne après colonne, sans fin.
C’est une règle gloutonne : chaque dame prend la première place libre, sans rien anticiper. Les rangées obtenues commencent par 0, 2, 4, 1, 3, 8, 10, 12, 14, 5, 7, 18, 6, 21, 9… Elles semblent désordonnées. Elles ne le sont pas.
Les 20 premières colonnes. Les dames bleu-vert sont au-dessus de la diagonale principale, les orange en dessous. — Figure 1, Ho (2026), arXiv:2609.31336.
Deux droites et un nombre célèbre
Tracez les dames sur les cent premières colonnes : elles tombent sur deux droites. Celles au-dessus de la diagonale montent avec une pente proche de 1,618 ; celles en dessous, avec une pente proche de 0,618. Ces deux nombres sont liés au nombre d’or, φ = (1 + √5)/2 : une droite est y = xφ, l’autre y = x/φ.
Les positions des dames sur les 100 premières colonnes, axes à la même échelle, avec les droites y = xφ et y = x/φ. — Figure 2, Ho (2026), arXiv:2609.31336.
La suite figure dans l’Encyclopédie en ligne des suites de nombres entiers (OEIS) depuis 2001. En 2020, Michel Dekking, Jeffrey Shallit et Neil Sloane ont conjecturé que les dames ne s’écartent jamais de ces deux droites de plus d’une distance bornée. Donald Knuth l’a vérifié numériquement jusqu’à un milliard de colonnes. Personne ne l’avait démontré.
Le théorème
Boon Suan Ho, de l’Université nationale de Singapour, le démontre avec des bornes explicites. Pour toute colonne n :
- une dame au-dessus de la diagonale est à moins de 5/φ ≈ 3,09 cases de la droite y = xφ ;
- une dame en dessous est à moins de 4 + 5/φ ≈ 7,09 cases de la droite y = x/φ.
Pourquoi le nombre d’or ? Supposons qu’une fraction θ des dames soit au-dessus de la diagonale. Compter comment les deux familles se partagent rangées et diagonales impose θ² + θ = 1, dont la solution positive est 1/φ. Toute la difficulté est de montrer que l’erreur ne grandit jamais. Tout se ramène à un lemme clé : la j-ième dame sous la diagonale est toujours à 4 diagonales au plus de la j-ième diagonale basse.
Une preuve vérifiée par la machine
Pour démontrer ce lemme, Ho décrit l’échiquier avant chaque colonne par un petit « état local » : quelques nombres et de courts mots écrits avec quatre lettres, qui notent où se trouvent les dames hautes. Un « graphe d’historique » fini de mots de 12 lettres (2 092 sommets, 2 603 arêtes) indique quelles lettres peuvent suivre lesquelles. Un ordinateur explore alors tous les états atteignables depuis la colonne 30 : 7 014 états, qui respectent tous les bornes voulues. Une récurrence montre que la vraie suite ne quitte jamais cet ensemble fini.
Deux programmes indépendants, sans code commun, trouvent les mêmes états. Une formalisation dans l’assistant de preuve Lean accompagne l’article, et tout le code est public.
En prime : un jeu et un générateur rapide
Les dames cachent un jeu. Déplacez une dame seule vers la gauche, vers le bas, ou en diagonale vers la gauche ; celui qui ne peut plus jouer a perdu. Les cases perdantes sont exactement celles des dames gloutonnes. Retirez le coup en antidiagonale et vous obtenez le Nim de Wythoff, un jeu déjà connu pour être gouverné par le nombre d’or.
La preuve donne aussi un algorithme remarquablement sobre. Le programme de Ho a produit dix milliards de dames en 25 secondes environ avec 1,76 mégaoctet de mémoire, contre 49 secondes et plus de 6 gigaoctets pour une adaptation du programme de Knuth. Et chaque diagonale de l’échiquier, découvre-t-on, porte exactement une dame.
Trouvée avec une IA
L’article se termine par une déclaration : « La preuve a été trouvée avec GPT-6 Pro, qui a aussi produit un premier brouillon de cet article. » Il a ensuite été révisé avec Claude Opus 5.5 sous la direction de l’auteur. Une question reste ouverte : les bornes inférieures plus serrées de Knuth, confirmées par ordinateur jusqu’à cent milliards de colonnes, attendent toujours leur preuve.