画笔中隐藏的物理学

许多人造物品都遵循简单的比例规则：论文列举了钉子、涡轮叶片、悬索桥的缆索和机翼。生物也是如此，从代谢率到从幼虫到蓝鲸等各种动物的游泳速度。画笔尽管是人类最古老的工具之一，却从未被这样研究过。然而，任何人都能想象出“一支画笔”的样子：纺锤形，笔尖纤细，比例让人一眼就觉得熟悉。

固体物理实验室（巴黎-萨克雷大学、法国国家科学研究中心）的Raphaëlle Taub、Christophe Poulard和Frédéric Restagno，与Jérôme Crassous（雷恩及巴黎高等物理化工学院）和Thomas Salez（波尔多及巴黎综合理工学院）一道，探究了这种熟悉的形状背后是否隐藏着某种物理规律。

工作台上的两百支画笔

团队测量了约200支商用画笔：美术笔、化妆刷、美甲笔和建筑用刷，笔毛有合成的、天然的或混合的，来自许多不同的制造商。它们笔箍的直径跨越两个数量级，从0.4毫米到40毫米。对每支画笔，他们记录了笔毛的长度L和笔箍处的直径D。

结果是一条清晰的幂律，L ∼ D^β，其指数只取决于笔尖的形状，与画笔的用途无关：

• 圆形笔尖：β ≈ 0.62；
• 锥形笔尖：β ≈ 0.54；
• 平头笔尖：β ≈ 0.90。

因此，大画笔并不只是小画笔的放大版。它们的比例随尺寸而变化，而变化的方式由笔尖决定。

无论大小，推力相同

随后，研究人员用一台拉力试验机，把干燥的画笔压在铺在铝板上的一张普通办公用纸上，并在笔毛弯曲的过程中记录力的大小。曲线显示出三个阶段：纤维先发生弹性弯曲，然后在一个平台阶段带着摩擦滑动，最后在画笔被完全压扁时堆叠在一起。

在第一个弹性阶段，加载时的刚度约为每米203牛顿，卸载时为27——数据较为分散，但与画笔尺寸没有明显关系。对照实验的结果引人注目：当团队把同一支画笔的笔毛逐步剪短时，它的刚度变化很大。可见，正是制造商选定的长度与宽度的组合，让刚度保持恒定。

笔尖为何重要

一个简单的接触模型解释了这些指数。笔尖决定了画笔下压时有多少根笔毛接触纸面：平头笔尖会同时让许多纤维受力，圆形笔尖是一片逐渐扩大的区域，锥形笔尖则是又长又缺乏支撑的纤维。用指数α来描述笔尖（锥形为1，圆形为2，平头为无穷大），那么只有在下式成立时，总力才与画笔尺寸无关：

β = α / (α + 1)，

由此预测的值为1/2、2/3和1——与测得的0.54、0.62和0.90相近。

这对笔触意味着什么

使用以水稀释的水粉颜料时，画笔的刚度保持不变；颜料只是让微小的粘滑（stick-slip）跳动变得平滑。对于以43度角按压的圆头画笔，笔迹面积随按压深度线性增大，与使用哪支画笔无关。由于力等于刚度乘以压缩量，而刚度几乎不变，画家——或绘画机器人——只需通过力度就能控制笔迹大小，手边任何一支圆头画笔都可以。

作者认为，这是一件在历史长河中由使用者塑造、而非由明确设计规则塑造的物品，“以一种类似达尔文进化的方式”形成。目前这一发现针对的是圆头画笔；作者建议，同样的测量、力学与极简建模相结合的方法，也可以用于化妆刷和工业涂装工具。