MEDINDO O SOL COM UM VARÃO DE CORTINA

Aristarco de Samos (por volta de 310–230 a.C.), astrônomo e matemático grego, foi o primeiro pensador conhecido a propor que o Sol, e não a Terra, ocupa o centro. Ele também se propôs a medir quanto o Sol está mais distante de nós do que a Lua.

Um ângulo reto no céu

Sua sacada geométrica: no quarto crescente ou minguante, quando exatamente metade da Lua está iluminada, o Sol, a Lua e a Terra formam um triângulo com um ângulo reto na Lua. Medindo o ângulo δ entre o Sol e a Lua visto da Terra, obtém-se a razão entre as duas distâncias: λ = sec(δ), ou seja, 1 / cos δ.

Aristarco encontrou δ ≈ 87° e, portanto, λ ≈ 19: o Sol estaria cerca de 19 vezes mais longe que a Lua. Como ele chegou a 87° continua sendo um mistério. Uma hipótese sugere que ele estimou uma diferença de um dia entre as duas metades do ciclo lunar.

O valor real é de cerca de 400, o que corresponde a um ângulo de δ ≈ 89° 51′.

A armadilha: perto de 90°, um erro minúsculo no ângulo muda enormemente o resultado. 87° dá 19; 89° dá cerca de 57; 89° 51′ dá cerca de 400. E o ângulo varia cerca de 30 minutos de arco por hora, então dois minutos de erro no horário do quarto já significam cerca de um minuto de arco de erro.

O instrumento

Hugo Caerols e colegas da Universidade Adolfo Ibáñez (Santiago, Chile) e da Universidade Complutense de Madri construíram algo que qualquer um pode copiar:

• um varão de cortina de 1,5 m, com 1,1 cm de diâmetro, “exatamente como o encontramos na loja”, sobre um tripé de câmera;
• aponta-se o varão para a Lua olhando através dele, e o Sol projeta sua sombra no chão;
• com uma trena, medem-se três comprimentos: de cada ponta do varão até a ponta correspondente de sua sombra, e o comprimento da sombra. A lei dos cossenos então dá δ.

A parte engenhosa: não é preciso mirar no Sol e na Lua ao mesmo tempo, nem medir um ângulo diretamente — algo muito difícil de fazer com precisão de um minuto de arco. A sombra se move rápido, de modo perceptível em cerca de 30 segundos, por isso a equipe marcou suas pontas com pequenos mexedores de café de madeira.

Uma simulação por computador de 1.000 medições mostrou o que esperar: 1 mm de erro de medição dá cerca de 5′ no ângulo; 5 mm dão cerca de 27′. Os erros diminuem quando a Lua está alta, e com um varão de 2 m.

A medição real

Em 10 de outubro de 2024, no Observatório Foster, no Cerro San Cristóbal, em Santiago, o quarto minguante caiu às 13h57. Nuvens no horizonte atrasaram tudo; as primeiras medições aproveitáveis vieram depois das 15h.

A equipe fez 17 medições entre 15h e 16h30. Comparados com os valores exatos do software Stellarium, os erros individuais variaram de −32′ a +16′. Um ajuste linear, prolongado até o momento do quarto, deu δ = 89° 25′ ± 12′ e, portanto, λ ≈ 97.

Isso ainda é cerca de quatro vezes menos que o valor real — um lembrete de quão sensível é o método perto de 90°. Mas é cinco vezes melhor que Aristarco, com material de loja de construção.

Um primeiro instrumento, que usava apontadores laser e um transferidor digital para mirar no Sol e na Lua ao mesmo tempo, foi abandonado: erros de alinhamento demais.

O que limita a precisão

1. O principal: saber o momento exato do quarto. A olho nu, a linha de sombra na Lua quase não muda ao longo de uma hora, enquanto o ângulo se desloca meio grau.
2. Centralizar no varão uma Lua meio iluminada, à luz do dia.
3. Localizar a ponta da sombra quando o Sol fica baixo.
4. As leituras da trena.

Um experimento de sala de aula, e coletivo

Os autores propõem medições simultâneas em muitos lugares: 225 medições independentes com precisão de 30′ reduziriam a incerteza média para 2′; com 10′ cada, 25 bastariam. Eles listam datas favoráveis para 2027 em Madri e Santiago e estão desenvolvendo um método baseado em fotografias da Lua para cronometrar o quarto com precisão.

A atividade vai do ensino médio — construção do instrumento, geometria, trigonometria — à universidade: efemérides, propagação de erros, regressão e programação. O código da simulação deles é público.