पडद्याच्या दांड्याने सूर्याचे मोजमाप

सामोसचा आरिस्टार्कस (सुमारे इ.स.पू. 310–230) हा ग्रीक खगोलशास्त्रज्ञ आणि गणितज्ञ. केंद्रस्थानी पृथ्वी नव्हे तर सूर्य आहे, असे मांडणारा तो ज्ञात असलेला पहिला विचारवंत. सूर्य आपल्यापासून चंद्रापेक्षा किती पट दूर आहे, हे मोजण्याचाही त्याने प्रयत्न केला.

आकाशातील काटकोन

त्याची भौमितिक अंतर्दृष्टी अशी: शुक्ल किंवा कृष्ण अष्टमीला, म्हणजे चंद्राचा बरोबर अर्धा भाग प्रकाशित असताना, सूर्य, चंद्र आणि पृथ्वी असा त्रिकोण तयार होतो ज्याचा काटकोन चंद्रापाशी असतो. पृथ्वीवरून दिसणारा सूर्य आणि चंद्र यांच्यातील कोन δ मोजला, की दोन्ही अंतरांचे गुणोत्तर मिळते: λ = sec(δ), म्हणजेच 1 / cos δ.

आरिस्टार्कसला δ ≈ 87° आणि म्हणून λ ≈ 19 मिळाले: म्हणजे सूर्य चंद्रापेक्षा सुमारे 19 पट दूर. त्याला 87° कसे मिळाले हे आजही गूढ आहे. एका गृहीतकानुसार त्याने चांद्रचक्राच्या दोन अर्ध्या भागांमध्ये एका दिवसाचा फरक असल्याचा अंदाज बांधला असावा.

खरे मूल्य सुमारे 400 आहे, जे δ ≈ 89° 51′ या कोनाशी जुळते.

सापळा: 90° च्या जवळ कोनातील अगदी लहान चूकही निकालात प्रचंड फरक पाडते. 87° ने 19 मिळतात; 89° ने सुमारे 57; 89° 51′ ने सुमारे 400. शिवाय हा कोन तासाला सुमारे 30 कोनीय मिनिटांनी बदलतो, त्यामुळे अर्धचंद्राच्या वेळेत दोन मिनिटांची चूक झाली तरी कोनात सुमारे एका कोनीय मिनिटाची चूक होते.

उपकरण

आदोल्फो इबान्येस विद्यापीठ (सँटियागो, चिली) आणि माद्रिदचे कॉम्प्लुटेन्स विद्यापीठ येथील ह्युगो कायरोल्स आणि सहकाऱ्यांनी असे उपकरण बनवले जे कोणीही तयार करू शकेल:

• 1.5 मीटर लांबीचा पडद्याचा दांडा, 1.1 सेंमी जाडीचा, “दुकानात मिळाला तसाच”, कॅमेऱ्याच्या तिपाईवर बसवलेला;
• दांड्यातून पाहत तो चंद्राकडे रोखायचा, आणि सूर्य त्याची सावली जमिनीवर पाडतो;
• मोजपट्टीने तीन लांबी मोजायच्या: दांड्याच्या प्रत्येक टोकापासून सावलीच्या संबंधित टोकापर्यंतचे अंतर, आणि सावलीची लांबी. मग कोसाइनच्या नियमावरून δ मिळतो.

यातली हुशारी: सूर्य आणि चंद्र यांच्याकडे एकाच वेळी नेम धरण्याची गरज नाही, आणि कोन थेट मोजण्याचीही गरज नाही — कोन एका कोनीय मिनिटाच्या अचूकतेने थेट मोजणे फार कठीण असते. सावली वेगाने सरकते, सुमारे 30 सेकंदांतच लक्षात येईल इतकी, म्हणून चमूने तिची टोके लाकडी कॉफी ढवळण्याच्या छोट्या काड्यांनी चिन्हांकित केली.

1,000 मोजमापांच्या संगणकीय सिम्युलेशनमधून अपेक्षित अचूकता दिसली: मोजमापातील 1 मिमी चुकीमुळे कोनात सुमारे 5′ चूक होते; 5 मिमी चुकीमुळे सुमारे 27′. चंद्र उंच असताना, आणि 2 मीटरचा दांडा वापरल्यास चुका कमी होतात.

प्रत्यक्ष मोजमाप

10 ऑक्टोबर 2024 रोजी, सँटियागोमधील सान क्रिस्तोबाल टेकडीवरील फॉस्टर वेधशाळेत, कृष्ण अष्टमीची वेळ 13:57 होती. क्षितिजावरील ढगांमुळे सगळेच लांबले; पहिली वापरण्याजोगी मोजमापे 15:00 नंतर मिळाली.

चमूने 15:00 ते 16:30 दरम्यान 17 मोजमापे घेतली. Stellarium सॉफ्टवेअरमधील अचूक मूल्यांशी तुलना करता, वैयक्तिक चुका −32′ ते +16′ दरम्यान होत्या. सरळ रेषेचे समायोजन करून ते अर्धचंद्राच्या वेळेपर्यंत मागे नेले असता δ = 89° 25′ ± 12′, आणि म्हणून λ ≈ 97 मिळाले.

हे अजूनही खऱ्या मूल्याच्या सुमारे चौपट कमी आहे — 90° जवळ ही पद्धत किती संवेदनशील आहे याची आठवण. पण हार्डवेअरच्या दुकानातील साधनांनी मिळालेला हा निकाल आरिस्टार्कसपेक्षा पाचपट चांगला आहे.

लेझर पॉइंटर आणि डिजिटल कोनमापक वापरून सूर्य आणि चंद्र यांच्याकडे एकाच वेळी नेम धरणारे पहिले उपकरण सोडून द्यावे लागले: संरेखनातील चुका फार होत्या.

अचूकतेला मर्यादा कशामुळे

1. मुख्य कारण: अर्धचंद्राचा नेमका क्षण माहीत असणे. डोळ्यांना चंद्रावरील छायारेषा तासभरात जवळजवळ बदलताना दिसत नाही, पण कोन अर्ध्या अंशाने सरकतो.
2. दिवसाच्या उजेडात अर्धप्रकाशित चंद्र दांड्याच्या मध्यभागी आणणे.
3. सूर्य खाली गेल्यावर सावलीचे टोक नेमके शोधणे.
4. मोजपट्टीवरील वाचन.

वर्गातील प्रयोग, आणि सामूहिक प्रयोगही

लेखकांनी अनेक ठिकाणी एकाच वेळी मोजमापे घेण्याचे सुचवले आहे: 30′ अचूकतेची 225 स्वतंत्र मोजमापे सरासरी अनिश्चितता 2′ पर्यंत खाली आणतील; प्रत्येकी 10′ अचूकता असल्यास 25 पुरेशी ठरतील. त्यांनी 2027 मधील माद्रिद आणि सँटियागोसाठी अनुकूल तारखांची यादी दिली आहे, आणि अर्धचंद्राची वेळ अचूक ठरवण्यासाठी चंद्राच्या छायाचित्रांवर आधारित पद्धत ते विकसित करत आहेत.

हा उपक्रम माध्यमिक शाळेपासून — उपकरण बनवणे, भूमिती, त्रिकोणमिती — विद्यापीठ स्तरापर्यंत विस्तारता येतो: खगोलीय पंचांग (ephemerides), चुकांचा प्रसार, प्रतिगमन विश्लेषण आणि प्रोग्रॅमिंग. त्यांचा सिम्युलेशन कोड सार्वजनिक आहे.