MESURER LE SOLEIL AVEC UNE TRINGLE À RIDEAU

Aristarque de Samos (vers 310-230 av. J.-C.), astronome et mathématicien grec, est le premier penseur connu à avoir placé le Soleil, et non la Terre, au centre. Il a aussi voulu mesurer combien le Soleil est plus loin de nous que la Lune.

Un angle droit dans le ciel

Son idée géométrique : au premier ou au dernier quartier, quand la Lune est éclairée exactement à moitié, le Soleil, la Lune et la Terre forment un triangle avec un angle droit à la Lune. Il suffit de mesurer l’angle δ entre le Soleil et la Lune vu depuis la Terre pour obtenir le rapport des deux distances : λ = sec(δ), c’est-à-dire 1 / cos δ.

Aristarque a trouvé δ ≈ 87°, donc λ ≈ 19 : le Soleil serait environ 19 fois plus loin que la Lune. Comment il a obtenu 87° reste un mystère. Une hypothèse suggère qu’il aurait estimé un jour d’écart entre les deux moitiés du cycle lunaire.

La valeur réelle est d’environ 400, ce qui correspond à un angle de δ ≈ 89° 51′.

Le piège : près de 90°, une infime erreur d’angle change énormément le résultat. 87° donne 19 ; 89° donne environ 57 ; 89° 51′ donne environ 400. Et l’angle bouge d’environ 30 minutes d’arc par heure : deux minutes d’erreur sur l’heure du quartier font déjà environ une minute d’arc d’erreur.

L’instrument

Hugo Caerols et ses collègues de l’Université Adolfo Ibáñez (Santiago du Chili) et de l’Université Complutense de Madrid ont construit un appareil que chacun peut copier :

• une tringle à rideau de 1,5 m, de 1,1 cm de diamètre, « telle qu’achetée en magasin », sur un trépied photo ;
• on vise la Lune en regardant à travers la tringle, et le Soleil projette son ombre au sol ;
• au mètre ruban, on mesure trois longueurs : de chaque extrémité de la tringle à l’extrémité correspondante de son ombre, et la longueur de l’ombre. Le théorème d’Al-Kashi donne alors δ.

L’astuce : inutile de viser le Soleil et la Lune en même temps, et inutile de mesurer un angle directement — très difficile à une minute d’arc près. L’ombre bouge vite, sensiblement en une trentaine de secondes : l’équipe marquait ses extrémités avec des bâtonnets à café en bois.

Une simulation informatique de 1 000 mesures a montré à quoi s’attendre : 1 mm d’erreur de mesure donne environ 5′ sur l’angle ; 5 mm, environ 27′. Les erreurs diminuent quand la Lune est haute, et avec une tringle de 2 m.

La vraie mesure

Le 10 octobre 2024, à l’observatoire Foster, sur la colline San Cristóbal à Santiago, le dernier quartier tombait à 13 h 57. Des nuages à l’horizon ont tout retardé ; les premières mesures exploitables sont arrivées après 15 h.

L’équipe a pris 17 mesures entre 15 h et 16 h 30. Comparées aux valeurs exactes du logiciel Stellarium, les erreurs individuelles allaient de −32′ à +16′. Une droite ajustée sur ces points, prolongée jusqu’à l’heure du quartier, donne δ = 89° 25′ ± 12′, soit λ ≈ 97.

C’est encore environ quatre fois moins que la vraie valeur — preuve de l’extrême sensibilité de la méthode près de 90°. Mais c’est cinq fois mieux qu’Aristarque, avec du matériel de quincaillerie.

Un premier instrument, avec des pointeurs laser et un rapporteur numérique pour viser le Soleil et la Lune à la fois, a été abandonné : trop d’erreurs d’alignement.

Ce qui limite la précision

1. La principale : connaître l’instant exact du quartier. À l’œil, la ligne d’ombre sur la Lune ne change presque pas en une heure, alors que l’angle bouge d’un demi-degré.
2. Centrer une Lune à moitié éclairée dans la tringle, en plein jour.
3. Repérer le bout de l’ombre quand le Soleil baisse.
4. Les lectures au mètre ruban.

Une expérience de classe, et collective

Les auteurs proposent des mesures simultanées en de nombreux lieux : 225 mesures indépendantes précises à 30′ ramèneraient l’incertitude moyenne à 2′ ; à 10′ chacune, 25 suffiraient. Ils listent les dates favorables de 2027 à Madrid et à Santiago, et développent une méthode fondée sur des photos de la Lune pour dater précisément le quartier.

L’activité s’adapte du lycée — construction de l’instrument, géométrie, trigonométrie — à l’université : éphémérides, propagation des erreurs, régression et programmation. Leur code de simulation est public.