ИЗМЕРИТЬ СОЛНЦЕ КАРНИЗОМ ДЛЯ ШТОР

Аристарх Самосский (около 310–230 гг. до н. э.), греческий астроном и математик, — первый известный мыслитель, предположивший, что в центре находится Солнце, а не Земля. Он также попытался измерить, во сколько раз Солнце дальше от нас, чем Луна.

Прямой угол на небе

Его геометрическая догадка: в первой или последней четверти, когда освещена ровно половина Луны, Солнце, Луна и Земля образуют треугольник с прямым углом при Луне. Если измерить угол δ между Солнцем и Луной, видимый с Земли, отношение двух расстояний получается сразу: λ = sec(δ), то есть 1 / cos δ.

Аристарх получил δ ≈ 87°, а значит, λ ≈ 19: Солнце должно быть примерно в 19 раз дальше Луны. Как он получил 87°, остаётся загадкой. Согласно одной гипотезе, он оценил разницу в один день между двумя половинами лунного цикла.

Реальное значение — около 400, что соответствует углу δ ≈ 89° 51′.

Ловушка: вблизи 90° крошечная ошибка в угле колоссально меняет результат. 87° дают 19; 89° — около 57; 89° 51′ — около 400. А угол меняется примерно на 30 угловых минут в час, так что ошибка в две минуты во времени наступления четверти уже даёт около одной угловой минуты ошибки.

Инструмент

Уго Каэрольс и его коллеги из Университета Адольфо Ибаньеса (Сантьяго, Чили) и Мадридского университета Комплутенсе построили прибор, который может повторить каждый:

карниз для штор длиной 1,5 м и диаметром 1,1 см, «в том виде, в каком мы нашли его в магазине», на фотоштативе;
стержень наводят на Луну, глядя сквозь него, а Солнце отбрасывает его тень на землю;
рулеткой измеряют три длины: от каждого конца стержня до соответствующего конца его тени и длину самой тени. Затем теорема косинусов даёт δ.

Изюминка: не нужно одновременно целиться в Солнце и Луну и не нужно напрямую измерять угол — а это очень трудно сделать с точностью до одной угловой минуты. Тень движется быстро, заметно уже примерно за 30 секунд, поэтому команда отмечала её концы маленькими деревянными палочками для размешивания кофе.

Компьютерное моделирование 1000 измерений показало, чего ожидать: ошибка измерения в 1 мм даёт около 5′ по углу; 5 мм — около 27′. Ошибки уменьшаются, когда Луна стоит высоко, и при стержне длиной 2 м.

Настоящее измерение

10 октября 2024 года в обсерватории Фостера на холме Сан-Кристобаль в Сантьяго последняя четверть пришлась на 13:57. Облака у горизонта всё задержали; первые пригодные измерения удалось сделать только после 15:00.

Команда провела 17 измерений между 15:00 и 16:30. По сравнению с точными значениями из программы Stellarium отдельные ошибки составили от −32′ до +16′. Прямая, проведённая через точки и продолженная назад до момента четверти, дала δ = 89° 25′ ± 12′, а значит, λ ≈ 97.

Это всё ещё примерно в четыре раза меньше истинного значения — напоминание о том, насколько чувствителен метод вблизи 90°. Но это в пять раз лучше, чем у Аристарха, причём с оборудованием из хозяйственного магазина.

От первого прибора, в котором лазерные указки и цифровой транспортир позволяли целиться в Солнце и Луну одновременно, отказались: слишком много ошибок выравнивания.

Что ограничивает точность

Главное: знание точного момента четверти. На глаз линия тени на Луне за час почти не меняется, а угол сдвигается на полградуса.
Удержание наполовину освещённой Луны в центре стержня при дневном свете.
Определение конца тени, когда Солнце опускается низко.
Отсчёты по рулетке.

Школьный эксперимент — и коллективный

Авторы предлагают одновременные измерения во многих местах: 225 независимых измерений с точностью 30′ снизили бы среднюю неопределённость до 2′; при точности 10′ хватило бы 25. Они приводят благоприятные даты на 2027 год для Мадрида и Сантьяго и разрабатывают метод на основе фотографий Луны, чтобы точно определять момент четверти.

Задание подходит для любого уровня — от средней школы (изготовление прибора, геометрия, тригонометрия) до университета: эфемериды, распространение ошибок, регрессия и программирование. Их код моделирования находится в открытом доступе.