প্রথম টেক্কা আসতে কটা তাস লাগে?
ধাঁধাটি এসেছে নরওয়েজীয় পরিসংখ্যান সমিতির পত্রিকা Tilfeldig Gang-এর জন্য অধ্যাপক ইয়োস্তাইন লিলেস্টোলের লেখা মগজ-খাটানো ধাঁধার একটি দীর্ঘ ধারাবাহিক থেকে — পত্রিকার নামটি একটি শব্দ-খেলা, যার অর্থ “দৈব পদচারণা” (র্যান্ডম ওয়াক): “৪টি টেক্কাসহ ৫২টি তাসের একটি প্যাকেট নিন। ভালো করে ভাঁজুন, তারপর প্রথম টেক্কা না আসা পর্যন্ত একবারে একটি করে তাস উল্টান। গড়ে কটা তাস লাগবে? চ্যালেঞ্জ: ভিন্ন ভিন্ন সমাধান খুঁজুন।”
অসলো বিশ্ববিদ্যালয়ের পরিসংখ্যানবিদ নিলস লিড ইয়োর্ট জানান, তিনি নিজের বারান্দায় গ্রীষ্মের দুটি দিন এর পেছনে কাটিয়েছেন — এআই ছাড়াই। তাঁর ছোট্ট প্রবন্ধটি শুরু হয় একটি আক্ষেপ দিয়ে: তিনি মনে করেন, শিগগিরই কোনো এআই এমন প্রবন্ধ লিখতে পারবে “অধ্যাপক N.L. Hjort-এর মাঝেমধ্যে অলংকৃত সাহিত্যিক রীতিতে”, যা তাঁর কাছে “মন্ত্রমুগ্ধকরভাবে চমৎকার — অথচ অস্বস্তিকর ও দুশ্চিন্তার”।
উত্তর: ১০.৬
N-টি তাসের মধ্যে n-টি টেক্কা থাকলে, প্রথম টেক্কায় পৌঁছাতে গড়ে যতগুলো তাস লাগে:
(N + 1) / (n + 1)
সাধারণ প্যাকেটের জন্য: ৫৩ / ৫ = ১০.৬।
ইয়োর্ট এটি কয়েকভাবে প্রমাণ করেছেন:
- প্রতিটি টানে প্রথম টেক্কা আসার সঠিক সম্ভাবনা হিসাব করে, তারপর গড় নিয়ে — পাসকেলের ত্রিভুজের একটি ধ্রুপদি অভেদের সাহায্যে। একটি কর্ণ বরাবর সংখ্যাগুলো যোগ করুন, উত্তর মিলবে এক ধাপ নিচে, পরের সারিতে — যেমন ১ + ৪ + ১০ + ২০ = ৩৫। একে ডাকনামে বলা হয় “ক্রিসমাস মোজা” বা “হকি স্টিক” সূত্র।
- এখনো কোনো টেক্কা না আসার সম্ভাবনাগুলো যোগ করে।
- একটি মসৃণ আসন্নমান দিয়ে: বড় প্যাকেটের ক্ষেত্রে অপেক্ষার সময়কে N + 1 দিয়ে ভাগ করলে তা একটি পরিচিত বক্ররেখার (বিটা বণ্টন) মতো আচরণ করে, যার গড় একই ফল দেয়।
প্রতিটি টানে প্রথম টেক্কা আসার সম্ভাবনা: সঠিক মান (কালো) ও আসন্নমান (লাল, ড্যাশ) প্রায় মিলে যায়। — চিত্র ১, ইয়োর্ট (২০২৬), arXiv:2609.29596।
বাকি টেক্কাগুলো
প্রথম ও দ্বিতীয় টেক্কার মাঝের ফাঁক, দ্বিতীয় ও তৃতীয়ের মাঝের ফাঁক, এভাবে প্রতিটিই প্রথম টেক্কার অপেক্ষার একই বণ্টন মেনে চলে। এগুলো স্বাধীন নয়, তবে পরস্পর বিনিময়যোগ্য। তাই গড়ে চারটি টেক্কা প্যাকেটের ৫৩টি “খোপ”-কে পাঁচটি সমান ভাগে কাটে। বড় প্যাকেটের ক্ষেত্রে টেক্কাগুলোর অবস্থান একটি রেখার ওপর এলোমেলোভাবে ফেলা বিন্দুর মতো আচরণ করে — যা আধুনিক পরিসংখ্যানের আরও উন্নত হাতিয়ারের সঙ্গে যুক্ত।
ধাঁধাটিকে উল্টে দেওয়া
কাজের অংশটি আসে প্রশ্নটা উল্টে দিলে। ধরুন আপনি জানেন না কতগুলো তাস — বা মানুষ, বা প্রাণী — আছে।
- আপনি জানেন ৪টি টেক্কা আছে, আর প্রথমটি আসে ১০ম তাসে। প্যাকেটের আকারের সেরা অনুমান ৫৮, অনিশ্চয়তার বড় পরিসরসহ।
- একটি ঘরে ১,০০০ জন মানুষ আছেন। আপনি একে একে সবাইকে সম্ভাষণ জানান, আর প্রথম যে পাঁচজন বাঁহাতির সঙ্গে দেখা হয় তাঁরা ১০, ১৮, ২২, ৩৯ ও ৫০ নম্বর। অনুমান: প্রায় ৮৫ জন বাঁহাতি, ৩৩ থেকে ১৭২-এর ৯০% আস্থা-ব্যবধানসহ। আসলে কেবল পঞ্চম জনের অবস্থানই গুরুত্বপূর্ণ।
১,০০০ জনের মধ্যে বাঁহাতির সংখ্যা অনুমান: প্রতিটি নতুন বাঁহাতি খুঁজে পাওয়া অনুমানকে আরও নিখুঁত করে (কালো বক্ররেখা: পাঁচজনই)। — চিত্র ৩, ইয়োর্ট (২০২৬), arXiv:2609.29596।
ইয়োর্ট তাঁর পরিসংখ্যানের গল্পের বইয়ে এ ধরনের যুক্তির — “অগণিতকে গোনা” — বাস্তব প্রয়োগের কথা বলেছেন: কোনো বনে ভোল (ছোট ইঁদুরজাতীয় প্রাণী) বা হরিণের সংখ্যা অনুমান, এবং ১৯৭৮ থেকে ১৯৯৫ সালের মধ্যে গুয়াতেমালায় নিহত মানুষের সংখ্যা।