మొదటి ఆసు వచ్చేవరకు ఎన్ని కార్డులు?

ఈ పజిల్, నార్వేజియన్ గణాంక సంఘం పత్రిక అయిన Tilfeldig Gang — “యాదృచ్ఛిక నడక” (Random Walk) అనే అర్థం వచ్చే పదక్రీడ — కోసం ప్రొఫెసర్ యోస్టెయిన్ లిల్లెస్టోల్ రాసిన మెదడుకు మేత పజిల్‌ల సుదీర్ఘ శ్రేణి నుంచి వచ్చింది: “4 ఆసులతో సహా 52 కార్డుల పేకను తీసుకోండి. బాగా కలిపి, మొదటి ఆసు కనిపించేవరకు ఒక్కోసారి ఒక కార్డును తిప్పండి. సగటున ఎన్ని కార్డులు అవసరం? సవాలు: వేర్వేరు పరిష్కారాలు కనుగొనండి.”

ఓస్లో విశ్వవిద్యాలయానికి చెందిన గణాంకవేత్త నిల్స్ లిడ్ యోర్ట్, తాను దీనిపై తన బాల్కనీలో రెండు వేసవి రోజులు గడిపానని చెబుతారు — AI లేకుండా. ఆయన చిన్న వ్యాసం ఒక విలాపంతో మొదలవుతుంది: త్వరలోనే AI అలాంటి వ్యాసాన్ని “ప్రొఫెసర్ N.L. Hjort యొక్క అప్పుడప్పుడు అలంకారభరితమయ్యే సాహిత్య శైలిలో” రాయగలదని ఆయన నమ్ముతారు; అది ఆయనకు “మంత్రముగ్ధం చేసేంత అద్భుతంగా — అయినా, కలవరపరిచేదిగా, ఆందోళనకరంగా” అనిపిస్తుంది.

జవాబు: 10.6

n ఆసులతో సహా N కార్డులు ఉంటే, మొదటి ఆసును చేరడానికి అవసరమైన కార్డుల సగటు సంఖ్య:

(N + 1) / (n + 1)

సాధారణ పేకకు: 53 / 5 = 10.6.

యోర్ట్ దీన్ని అనేక విధాలుగా నిరూపిస్తారు:

1. ప్రతి తీతలో మొదటి ఆసు కనిపించే ఖచ్చితమైన సంభావ్యతను లెక్కించి, పాస్కల్ త్రిభుజం నుంచి వచ్చిన ఒక ప్రసిద్ధ సర్వసమీకరణం సహాయంతో సగటు తీసుకోవడం ద్వారా. ఒక వికర్ణం వెంబడి సంఖ్యలను కూడితే జవాబు ఒక అడుగు కిందికి, తర్వాతి వరుసలో కనిపిస్తుంది — ఉదాహరణకు 1 + 4 + 10 + 20 = 35. దీనికి “క్రిస్మస్ మేజోడు” లేదా “హాకీ స్టిక్” సూత్రం అని ముద్దుపేరు.
2. ఇంకా ఏ ఆసూ కనిపించని సంభావ్యతలను కూడటం ద్వారా.
3. ఒక నునుపైన ఉజ్జాయింపుతో: పెద్ద పేకకు, నిరీక్షణ సమయాన్ని N + 1 తో భాగిస్తే అది తెలిసిన ఒక వక్రంలా (బీటా విభాజనం) ప్రవర్తిస్తుంది, దాని సగటు అదే ఫలితాన్ని ఇస్తుంది.

ప్రతి తీతలో మొదటి ఆసు కనిపించే అవకాశం: ఖచ్చితమైనది (నలుపు), ఉజ్జాయింపు (ఎరుపు, గీతల గీత) దాదాపు ఏకీభవిస్తాయి. — చిత్రం 1, Hjort (2026), arXiv:2609.29596.

మిగతా ఆసులు

మొదటి, రెండవ ఆసుల మధ్య ఖాళీ, రెండవ, మూడవ ఆసుల మధ్య ఖాళీ, ఇలా అన్నీ మొదటి ఆసు కోసం నిరీక్షణ పాటించే అదే విభాజనాన్ని పాటిస్తాయి. అవి స్వతంత్రమైనవి కావు, కానీ పరస్పరం మార్చుకోదగినవి. అందువల్ల సగటున, నాలుగు ఆసులు పేకలోని 53 “స్థానాలను” ఐదు సమాన భాగాలుగా కోస్తాయి. పెద్ద పేకలకు, ఆసుల స్థానాలు ఒక రేఖపై యాదృచ్ఛికంగా పడేసిన బిందువుల్లా ప్రవర్తిస్తాయి — ఆధునిక గణాంకశాస్త్రంలోని మరింత అధునాతన సాధనాలతో ఇదొక లంకె.

పజిల్‌ను తిప్పడం

ప్రశ్నను తిప్పినప్పుడే ఉపయోగకరమైన భాగం వస్తుంది. ఎన్ని కార్డులు — లేదా మనుషులు, లేదా జంతువులు — ఉన్నాయో మీకు తెలియదు అనుకోండి.

• 4 ఆసులు ఉన్నాయని మీకు తెలుసు, మొదటిది 10వ కార్డు వద్ద కనిపిస్తుంది. పేక పరిమాణానికి ఉత్తమ అంచనా 58, విస్తృతమైన అనిశ్చితి పరిధితో.
• ఒక గదిలో 1,000 మంది ఉన్నారు. మీరు వారిని ఒక్కొక్కరిగా పలకరిస్తారు, మీరు కలిసిన మొదటి ఐదుగురు ఎడమచేతివాటం వ్యక్తులు 10, 18, 22, 39, 50 సంఖ్యల వారు. అంచనా: సుమారు 85 మంది ఎడమచేతివాటం వారు, 33 నుంచి 172 వరకు 90% విశ్వాస అంతరంతో. నిజానికి ఐదవ వ్యక్తి స్థానం మాత్రమే ముఖ్యం.

1,000 మందిలో ఎడమచేతివాటం వారి సంఖ్యను అంచనా వేయడం: కొత్తగా కనుగొన్న ప్రతి ఎడమచేతివాటం వ్యక్తి అంచనాను మరింత పదును చేస్తారు (నల్లని వక్రం: ఐదుగురూ). — చిత్రం 3, Hjort (2026), arXiv:2609.29596.

యోర్ట్ తన గణాంక కథల పుస్తకంలో ఇలాంటి తర్కానికి, “లెక్కించనివాటిని లెక్కించడానికి”, నిజమైన ఉపయోగాలను సూచిస్తారు: ఒక అడవిలోని పొలం ఎలుకలు లేదా జింకల సంఖ్యను అంచనా వేయడం, 1978 నుంచి 1995 మధ్య గ్వాటెమాలాలో చంపబడిన వ్యక్తుల సంఖ్యను అంచనా వేయడం.