COMBIEN DE CARTES AVANT LE PREMIER AS ?

L’énigme vient d’une longue série de casse-tête écrits par le professeur Jostein Lillestøl pour Tilfeldig Gang — un jeu de mots sur « marche aléatoire » —, la revue de l’Association des statisticiens norvégiens : « Prenez un jeu de 52 cartes, dont ses 4 as. Battez bien, puis retournez une carte à la fois jusqu’à l’apparition du premier as. Combien de cartes faut-il en moyenne ? Défi : trouver plusieurs solutions. »

Nils Lid Hjort, statisticien à l’université d’Oslo, dit y avoir passé deux jours d’été sur son balcon — sans IA. Son court essai s’ouvre sur une complainte : il pense qu’une IA saura bientôt écrire un tel essai « dans le style littéraire parfois fleuri du professeur N.L. Hjort », ce qu’il trouve « d’une splendeur envoûtante — et pourtant, troublant et inquiétant ».

La réponse : 10,6

Avec N cartes dont n as, le nombre moyen de cartes nécessaires pour atteindre le premier as vaut :

(N + 1) / (n + 1)

Pour un jeu ordinaire : 53 / 5 = 10,6.

Hjort le démontre de plusieurs façons :

1. En calculant la probabilité exacte que le premier as sorte à chaque tirage, puis la moyenne, grâce à une identité classique du triangle de Pascal. On additionne les nombres le long d’une diagonale, et la réponse apparaît une case plus loin, sur la ligne suivante — par exemple 1 + 4 + 10 + 20 = 35. On la surnomme formule de la « chaussette de Noël » ou du « bâton de hockey ».
2. En additionnant les probabilités qu’aucun as ne soit encore sorti.
3. Avec une approximation lisse : pour un grand paquet, le temps d’attente divisé par N + 1 suit une courbe connue (une loi bêta), dont la moyenne donne le même résultat.

Probabilité que le premier as sorte à chaque tirage : exacte (noir) et approchée (rouge, pointillé), presque confondues. — Figure 1, Hjort (2026), arXiv:2609.29596.

Les autres as

L’écart entre le premier et le deuxième as, entre le deuxième et le troisième, et ainsi de suite, suivent tous la même loi que l’attente du premier as. Ils ne sont pas indépendants, mais interchangeables. En moyenne, les quatre as découpent donc les 53 « places » du paquet en cinq parts égales. Pour de grands paquets, les positions des as se comportent comme des points jetés au hasard sur un segment — un lien vers des outils plus avancés de la statistique moderne.

Retourner l’énigme

La partie utile vient quand on inverse la question. Supposons que l’on ne connaisse pas le nombre de cartes — ou de personnes, ou d’animaux.

• On sait qu’il y a 4 as, et le premier sort à la 10e carte. La meilleure estimation de la taille du paquet est 58, avec une large marge d’incertitude.
• Il y a 1 000 personnes dans une salle. On les salue une à une, et les cinq premiers gauchers rencontrés sont les numéros 10, 18, 22, 39 et 50. Estimation : environ 85 gauchers, avec un intervalle de confiance à 90 % allant de 33 à 172. Seule la position du cinquième compte vraiment.

Estimer le nombre de gauchers parmi 1 000 personnes : chaque nouveau gaucher trouvé affine l’estimation (courbe noire : les cinq). — Figure 3, Hjort (2026), arXiv:2609.29596.

Hjort cite des usages réels de ce raisonnement, « compter ceux qu’on n’a pas comptés », tirés de son livre d’histoires statistiques : estimer le nombre de campagnols ou de cerfs dans une forêt, ou le nombre de personnes tuées au Guatemala entre 1978 et 1995.