تا نخستین آس چند کارت؟

این معما از مجموعه‌ای طولانی از معماهایی می‌آید که پروفسور یوستاین لیله‌ستول (Jostein Lillestøl) برای Tilfeldig Gang — بازی‌ای با واژه‌ها به معنای «گام تصادفی» — مجلهٔ انجمن آمار نروژ، نوشته است: «یک دستهٔ 52تایی کارت، شامل 4 آس آن، بردارید. خوب بُر بزنید، سپس کارت‌ها را یکی‌یکی برگردانید تا نخستین آس ظاهر شود. به‌طور میانگین چند کارت لازم است؟ چالش: راه‌حل‌های گوناگون پیدا کنید.»

نیلس لید یورت (Nils Lid Hjort)، آمارشناس دانشگاه اسلو، می‌گوید دو روز تابستانی را روی بالکنش صرف آن کرده است — بدون هوش مصنوعی. جستار کوتاه او با یک گلایه آغاز می‌شود: او باور دارد که هوش مصنوعی به‌زودی خواهد توانست چنین جستاری را «با سبک ادبیِ گاه پرطمطراق پروفسور N.L. Hjort» بنویسد، که به نظرش «به‌طرزی افسونگر باشکوه — و با این حال، آزارنده و نگران‌کننده» است.

پاسخ: 10.6

با N کارت که n آس در میانشان است، میانگین تعداد کارت‌های لازم برای رسیدن به نخستین آس برابر است با:

(N + 1) / (n + 1)

برای یک دستهٔ معمولی: 53 / 5 = 10.6.

یورت آن را از چند راه اثبات می‌کند:

1. با محاسبهٔ احتمال دقیق ظاهرشدن نخستین آس در هر بیرون‌کشیدن، سپس میانگین‌گیری، به کمک یک اتحاد کلاسیک از مثلث پاسکال. اعداد را در امتداد یک قطر جمع بزنید تا پاسخ یک گام پایین‌تر، در ردیف بعدی، ظاهر شود — برای نمونه 1 + 4 + 10 + 20 = 35. به آن لقب فرمول «جوراب کریسمس» یا «چوب هاکی» داده‌اند.
2. با جمع‌زدن احتمال‌های اینکه هنوز هیچ آسی ظاهر نشده باشد.
3. با یک تقریب هموار: برای یک دستهٔ بزرگ، زمان انتظار تقسیم بر N + 1 مانند منحنی‌ای شناخته‌شده (یک توزیع بتا) رفتار می‌کند که میانگینش همان نتیجه را می‌دهد.

بخت ظاهرشدن نخستین آس در هر بیرون‌کشیدن: مقدار دقیق (سیاه) و تقریب (قرمز، خط‌چین) تقریباً بر هم منطبق‌اند. — شکل 1، Hjort (2026)، arXiv:2609.29596.

آس‌های دیگر

فاصلهٔ میان آس اول و دوم، میان دوم و سوم، و به همین ترتیب، همگی از همان توزیعِ انتظار برای نخستین آس پیروی می‌کنند. مستقل نیستند، اما جایگزین‌پذیرند. بنابراین، به‌طور میانگین، چهار آس 53 «جایگاه» دسته را به پنج بخش برابر تقسیم می‌کنند. برای دسته‌های بزرگ، جایگاه آس‌ها مانند نقطه‌هایی رفتار می‌کند که به‌تصادف روی یک خط انداخته شده‌اند — پیوندی با ابزارهای پیشرفته‌تر آمار مدرن.

وارونه‌کردن معما

بخش سودمند وقتی پیش می‌آید که پرسش را وارونه کنید. فرض کنید نمی‌دانید چند کارت — یا چند نفر، یا چند جانور — وجود دارد.

• می‌دانید 4 آس هست و نخستین آن در کارت دهم ظاهر می‌شود. بهترین برآورد اندازهٔ دسته 58 است، با حاشیهٔ عدم قطعیت گسترده.
• 1,000 نفر در اتاقی هستند. با آن‌ها یکی‌یکی احوال‌پرسی می‌کنید و پنج چپ‌دستِ نخستینی که می‌بینید شماره‌های 10، 18، 22، 39 و 50 هستند. برآورد: حدود 85 چپ‌دست، با بازهٔ اطمینان 90٪ از 33 تا 172. در واقع تنها جایگاه پنجمین نفر اهمیت دارد.

برآورد تعداد چپ‌دست‌ها در میان 1,000 نفر: هر چپ‌دست تازه‌ای که پیدا می‌شود برآورد را دقیق‌تر می‌کند (منحنی سیاه: هر پنج نفر). — شکل 3، Hjort (2026)، arXiv:2609.29596.

یورت در کتاب داستان‌های آماری‌اش به کاربردهای واقعی چنین استدلالی، «شمردن شمرده‌نشده‌ها»، اشاره می‌کند: برآورد تعداد موش‌های صحرایی یا گوزن‌ها در یک جنگل، و تعداد افرادی که میان سال‌های 1978 و 1995 در گواتمالا کشته شدند.