İLK ASA KADAR KAÇ KART?

Bulmaca, Profesör Jostein Lillestøl’ün Norveç İstatistik Derneği’nin dergisi Tilfeldig Gang — “Rastgele Yürüyüş” anlamına gelen bir kelime oyunu — için yazdığı uzun bir zekâ soruları dizisinden geliyor: “4 ası da içeren 52 kartlık bir deste alın. İyice karıştırın, ardından ilk as çıkana kadar kartları birer birer çevirin. Ortalama kaç kart gerekir? Meydan okuma: farklı çözümler bulun.”

Oslo Üniversitesi’nden istatistikçi Nils Lid Hjort, bunun üzerine balkonunda iki yaz günü geçirdiğini söylüyor — yapay zekâ olmadan. Kısa denemesi bir yakınmayla açılıyor: bir yapay zekânın yakında böyle bir denemeyi “Profesör N.L. Hjort’un zaman zaman süslü edebi üslubuyla” yazabileceğine inanıyor ve bunu “büyüleyici derecede muhteşem — ama yine de rahatsız edici ve kaygı verici” buluyor.

Cevap: 10,6

n ası içeren N kartla, ilk asa ulaşmak için gereken ortalama kart sayısı şudur:

(N + 1) / (n + 1)

Sıradan bir deste için: 53 / 5 = 10,6.

Hjort bunu birkaç yoldan kanıtlıyor:

1. İlk asın her çekilişte çıkma olasılığını tam olarak hesaplayıp, ardından Pascal üçgeninden klasik bir özdeşlik yardımıyla ortalamasını alarak. Bir köşegen boyunca sayıları toplayın, cevap bir adım aşağıda, bir sonraki satırda belirir — örneğin 1 + 4 + 10 + 20 = 35. Bu formüle “Noel çorabı” ya da “hokey sopası” formülü lakabı takılmıştır.
2. Henüz hiç as çıkmamış olma olasılıklarını toplayarak.
3. Pürüzsüz bir yaklaşımla: büyük bir destede, N + 1’e bölünen bekleme süresi bilinen bir eğri (bir Beta dağılımı) gibi davranır ve bu eğrinin ortalaması aynı sonucu verir.

İlk asın her çekilişte çıkma şansı: tam değer (siyah) ve yaklaşım (kırmızı, kesikli) neredeyse çakışıyor. — Şekil 1, Hjort (2026), arXiv:2609.29596.

Diğer aslar

Birinci ile ikinci as arasındaki, ikinci ile üçüncü arasındaki ve bu şekilde devam eden boşlukların hepsi, ilk as için beklemeyle aynı dağılımı izler. Bağımsız değiller, ama birbirinin yerine geçebilirler. Ortalama olarak dört as, destenin 53 “yuvasını” bu nedenle beş eşit parçaya böler. Büyük destelerde asların konumları, bir doğru üzerine rastgele bırakılmış noktalar gibi davranır — modern istatistiğin daha ileri araçlarıyla bir bağlantı.

Bulmacayı tersine çevirmek

İşe yarar kısım, soruyu tersine çevirdiğinizde ortaya çıkıyor. Kaç kart — ya da kaç kişi, kaç hayvan — olduğunu bilmediğinizi varsayın.

• 4 as olduğunu biliyorsunuz ve ilki 10’uncu kartta çıkıyor. Deste büyüklüğünün en iyi tahmini 58, geniş bir belirsizlik payıyla.
• Bir odada 1.000 kişi var. Onları tek tek selamlıyorsunuz ve karşılaştığınız ilk beş solak 10, 18, 22, 39 ve 50 numaralı kişiler. Tahmin: yaklaşık 85 solak, 33 ile 172 arasında %90’lık bir güven aralığıyla. Aslında yalnızca beşincisinin konumu önemli.

1.000 kişi arasındaki solak sayısını tahmin etmek: bulunan her yeni solak tahmini keskinleştiriyor (siyah eğri: beşinin tümü). — Şekil 3, Hjort (2026), arXiv:2609.29596.

Hjort, istatistik öyküleri kitabında böyle bir akıl yürütmenin, “sayılmamışları saymanın”, gerçek kullanımlarına dikkat çekiyor: bir ormandaki tarla faresi ya da geyik sayısını ve 1978 ile 1995 arasında Guatemala’da öldürülen insan sayısını tahmin etmek.