خلا کو رنگنے کے لیے کتنے رنگ؟ ایک عام پیمانے کے لیے 2d سے زیادہ نہیں
ایک ہموار سطح کا ہر نقطہ لیں اور ہر ایک کو کوئی رنگ دیں۔ اصول ایک ہی ہے: ٹھیک ایک اکائی کے فاصلے پر موجود دو نقطوں کا رنگ کبھی ایک جیسا نہیں ہونا چاہیے۔ کم سے کم کتنے رنگوں سے کام چل جائے گا؟
یہ ہیڈوِگر–نیلسن مسئلہ ہے، جو 1950 سے چلا آ رہا ہے اور مصنفین کے الفاظ میں منفصل جیومیٹری (discrete geometry) کے مشہور ترین حل طلب مسائل میں سے ایک ہے۔ ایک طویل عرصے تک صرف یہ معلوم تھا کہ جواب 4 اور 7 کے درمیان ہے۔ حال ہی میں ایک بڑی پیش رفت نے نچلی حد کو 5 تک پہنچا دیا۔ قطعی جواب اب بھی نامعلوم ہے۔
پیمانہ بدلنا
ضروری نہیں کہ فاصلہ عام پیمانے سے ہی ناپا جائے۔ ریاضی دان بہت سے دوسرے نارمز — لمبائی ناپنے کے طریقے — متعین کرتے ہیں، جن میں سے ہر ایک کو اس کی “اکائی گیند” (unit ball) سے بیان کیا جاتا ہے، یعنی ان نقطوں کا مجموعہ جو مرکز سے زیادہ سے زیادہ 1 کے فاصلے پر ہوں۔ عام فاصلے کے لیے یہ ایک گول گیند ہے؛ دوسرے نارمز کے لیے یہ کوئی بھی محدب (convex) شکل ہو سکتی ہے جو اپنے مرکز کے گرد متشاکل ہو۔
سطحِ مستوی پر ہر نارم کے لیے اس پہیلی کا جواب 4 اور 7 کے درمیان ہے۔ d ابعاد میں، کسی بھی نارم کے لیے یہ زیادہ سے زیادہ d میں قوت نمائی (exponential) ہے، اور بہت سے فطری نارمز کے لیے — بشمول عام اقلیدسی نارم — یہ کم از کم بھی قوت نمائی ہے: بُعد بڑھنے کے ساتھ رنگوں کی تعداد بے تحاشا بڑھتی ہے۔
کیا یہ بے تحاشا اضافہ ہی اصول ہے؟ نوگا ایلون (پرنسٹن یونیورسٹی اور تل ابیب یونیورسٹی)، ماتیا بوچچ (یونیورسٹی آف ویانا) اور جیمز ڈیوِس (لائپزگ یونیورسٹی) نے ایک عام (typical) نارم کا جائزہ لیا۔ کسی نارم کو “اتفاقیہ” چننے کا کوئی فطری طریقہ نہیں، اس لیے وہ ایک ٹوپولوجیکل تصور استعمال کرتے ہیں: کوئی خاصیت عام نارم کے لیے درست ہے اگر اس کے استثنا ایک نظر انداز کیے جانے کے قابل (“meagre”) مجموعہ بناتے ہوں۔ ایلون، بوچچ اور لیزا زاؤرمان کے پچھلے کام نے دکھایا تھا کہ ایک عام نارم کو زیادہ سے زیادہ 2ᵈ رنگ درکار ہیں، اور یہ سوال اٹھایا تھا کہ یہ حقیقت کے کتنا قریب ہے۔
قوت نمائی نہیں، خطی
جواب: بہت دور۔ نیا مقالہ ثابت کرتا ہے کہ
- d بُعدی فضا پر ایک عام نارم کے لیے 2d رنگ ہمیشہ کافی ہیں؛
- یہ بہترین ممکن ہے: نارمز کے ایک کھلے مجموعے کو کم از کم 2d رنگ درکار ہیں۔ چنانچہ کچھ نارمز کو ٹھیک 2d چاہییں۔
دس ابعاد میں ایک عام نارم کو زیادہ سے زیادہ بیس رنگ درکار ہیں، جبکہ عام فاصلے کو ایسی تعداد چاہیے جو قوت نمائی انداز میں بڑھتی ہے۔ مصنفین کے مطابق یہ پہلی بار ہے کہ کسی بھی بُعد d میں ایک “سختی سے محدب” (strictly convex) نارم کے لیے رنگ آمیزی کا عدد بالکل ٹھیک متعین کیا گیا ہے۔
نچلی حد ایک عمدہ پھندا استعمال کرتی ہے۔ ایسے 2d نقطے تلاش کریں جو سب ایک دوسرے سے ٹھیک ایک اکائی کے فاصلے پر ہوں، سوائے دو کے، a اور b، جو آدھی اکائی کے فاصلے پر ہیں۔ پوری ترتیب کا a کے گرد آئینی عکس شامل کر دیں۔ 2d سے کم رنگوں کے ساتھ b اور اس کا آئینی عکس دونوں a کا رنگ لینے پر مجبور ہوں گے — مگر وہ ایک دوسرے سے ٹھیک ایک اکائی کے فاصلے پر ہیں۔ تضاد۔ ایک استحکام لیما دکھاتا ہے کہ یہ ترتیب نارم میں کسی بھی چھوٹی تبدیلی کے باوجود برقرار رہتی ہے۔
بلند ابعاد میں ایک تنہا دوڑنے والا
بالائی حد ہر نقطے کو اس جگہ کے مطابق رنگ دیتی ہے جہاں اس کا ایک سوچ سمجھ کر چنا گیا ظل (projection) گرتا ہے، 1/(2d) چوڑائی کی قاشوں میں۔ اسے کارآمد بنانے کے لیے ایک کلیدی جز درکار ہے جسے مصنفین مشہور تنہا دوڑنے والے کے قیاس (lonely runner conjecture) کی بلند بُعدی، میٹرکس صورت قرار دیتے ہیں:
sup over x of minᵢ ‖aᵢ · x − bᵢ‖ ≥ k / (2n)
جہاں ‖t‖ عدد t سے قریب ترین صحیح عدد تک کا فاصلہ ہے، k ابعاد میں کسی بھی n سمتیوں aᵢ کے لیے جن میں سے کوئی بھی k آزاد ہوں۔ یہ بیان آئی جے شوئنبرگ کا 1978 کا ایک قیاس بھی حل کر دیتا ہے جو “نظر کی رکاوٹ” (view obstruction) سے متعلق ہے — یعنی یہ سوال کہ دوری تختیاں (periodic slabs) کتنی موٹی ہوں کہ لامتناہی تک ہر منظر روک دیں — جسے مصنفین اس شعبے کے کلاسیکی ترین حل طلب مسائل میں شمار کرتے ہیں، اور ساتھ ہی ہینزے اور مالیکیوسس کا ایک متعلقہ قیاس بھی۔
اعترافات میں مشین
مصنفین صاف بتاتے ہیں: “ChatGPT 6 Pro نے ہمیں اس آخری جز کا ثبوت فراہم کیا جس کی ہمیں مسئلہ 1 (Theorem 1) کے ثبوت میں ضرورت تھی، یعنی لیما 7 کا ثبوت، ایک طویل گفتگو کے بعد”، جس میں انہوں نے اپنے مشاہدات شیئر کیے تھے — بشمول استقرا (induction) کا خیال اور عمومی حکمتِ عملی۔ “نچلی حد کی دلیل بھی ChatGPT 6 Pro کی مدد سے ملی۔”
سوالات باقی ہیں۔ قطعی قدر 2d نارمز کے ایک کھلے مجموعے پر ثابت کی گئی ہے، تمام عام نارمز کے لیے نہیں۔ اور عام اقلیدسی فاصلے کے لیے مصنفین توقع رکھتے ہیں کہ ہر بُعد میں 2d سے سختی سے زیادہ رنگ درکار ہوں گے — جو ابعاد 2، 4، 7، 8 اور 9 اور اس سے اوپر میں پہلے ہی معلوم ہے، مگر ابعاد 3، 5 اور 6 میں اب بھی حل طلب ہے۔