خلا نوں رنگن لئی کنے رنگ؟ اک عام فیتے لئی 2d توں ودھ نہیں
اک پدھری سطح دا ہر نقطہ لوو تے ہر اک نوں اک رنگ دیو۔ اک اصول: جیہڑے دو نقطے ٹھیک اک اکائی دی دوری تے ہون، اوہناں دا رنگ کدے اک جیہا نہیں ہونا چاہیدا۔ کم چلان لئی گھٹ توں گھٹ کنے رنگ چاہیدے نیں؟
ایہہ ہیڈوگر–نیلسن مسئلہ (Hadwiger–Nelson problem) اے، جیہڑا 1950 توں چلدا آ رہیا اے تے لکھاریاں دے لفظاں وچ، وکھری جیومیٹری (discrete geometry) دے سب توں مشہور کھلے مسئلیاں وچوں اک اے۔ بڑے چر تک پتہ سی کہ جواب 4 تے 7 دے وچکار اے۔ اک تازہ وڈی پیش رفت نے ہیٹھلی حد 5 تک چک دتی۔ پکا جواب حالے وی پتہ نہیں۔
فیتہ بدلنا
فاصلہ ضروری نہیں کہ عام فیتے نال ای ناپیا جاوے۔ ریاضی دان کئی ہور نارم (norms) — لمبائی ناپن دے طریقے — بیان کردے نیں، تے ہر اک نوں اوہدی “اکائی گیند” (unit ball) نال پچھانیا جاندا اے، یعنی اوہ سارے نقطے جیہڑے مرکز توں ودھ توں ودھ 1 دی دوری تے ہون۔ عام فاصلے لئی ایہہ گول گیند اے؛ ہور نارماں لئی ایہہ کوئی وی محدب (convex) شکل ہو سکدی اے جیہڑی اپنے مرکز دے دوالے متناسب ہووے۔
سطح اتے ہر نارم لئی، رنگ والی بجھارت دا جواب 4 تے 7 دے وچکار اے۔ d بُعداں وچ، کسے وی نارم لئی ایہہ d وچ ودھ توں ودھ قوت نمائی (exponential) اے، تے کئی قدرتی نارماں لئی — عام اقلیدسی نارم سمیت — ایہہ گھٹ توں گھٹ وی قوت نمائی اے: بُعد ودھن نال رنگاں دی گنتی پھٹ کے ودھدی اے۔
کیہ ایہہ دھماکا ای اصول اے؟ نوگا الون (Noga Alon؛ پرنسٹن یونیورسٹی تے تل ابیب یونیورسٹی)، ماتیا بوچچ (Matija Bucić؛ ویانا یونیورسٹی) تے جیمز ڈیوس (James Davies؛ لائپزگ یونیورسٹی) نے اک عام (typical) نارم ول ویکھیا۔ کسے نارم نوں “اٹکل پچو” چنن دا کوئی قدرتی طریقہ نہیں، ایس لئی اوہ ٹوپولوجی دا اک تصور ورتدے نیں: کوئی خاصیت عام نارم لئی سچی اے جے اوہدے استثنا اک نہ ہون جیہا (“meagre”) سیٹ بناون۔ الون، بوچچ تے لیزا ساؤرمان (Lisa Sauermann) دے پہلے کم نے وکھایا سی کہ اک عام نارم نوں ودھ توں ودھ 2ᵈ رنگ چاہیدے نیں، تے پچھیا سی کہ ایہہ سچ دے کنا نیڑے اے۔
سدھا، قوت نمائی نہیں
جواب: بہت دور۔ نواں مقالہ ثابت کردا اے کہ
- d-بُعدی خلا اتے اک عام نارم لئی، 2d رنگ ہمیشہ کافی نیں؛
- ایہہ سب توں ودھیا ممکن اے: نارماں دے اک کھلے سیٹ نوں گھٹ توں گھٹ 2d رنگ چاہیدے نیں۔ ایس لئی کجھ نارماں نوں ٹھیک 2d چاہیدے نیں۔
دس بُعداں وچ، اک عام نارم نوں ودھ توں ودھ ویہہ رنگ چاہیدے نیں، جد کہ عام فاصلے نوں اجیہی گنتی چاہیدی اے جیہڑی قوت نمائی طور تے ودھدی اے۔ لکھاریاں دے مطابق، ایہہ وی پہلی وار اے کہ کسے وی بُعد d وچ اک “سختی نال محدب” (strictly convex) نارم لئی رنگ نمبر ٹھیک ٹھیک لبھیا گیا اے۔
ہیٹھلی حد اک سوہنا پھندا ورتدی اے۔ 2d نقطے لبھو جیہڑے سارے اک دوجے توں ٹھیک اک اکائی دور ہون، سوائے دو دے، a تے b، جیہڑے ادھی اکائی دور نیں۔ پوری ترتیب دا a راہیں شیشے والا عکس وی جوڑ دیو۔ 2d توں گھٹ رنگاں نال، b تے اوہدے عکس دوہاں نوں a دا رنگ لینا پئے گا — پر اوہ ٹھیک اک اکائی دور نیں۔ تضاد۔ اک استحکام لیما (stability lemma) وکھاندا اے کہ ایہہ ترتیب نارم وچ کسے وی نکی تبدیلی مگروں وی قائم رہندی اے۔
اُچے بُعداں وچ اک کلا دوڑاک
اُتلی حد ہر نقطے نوں ایس حساب نال رنگ دیندی اے کہ اوہدا اک چنگی طرحاں چنیا ظل (projection) کتھے ڈگدا اے، 1/(2d) چوڑائی دیاں پھانکاں وچ۔ ایہنوں کم کران لئی اک اہم جز چاہیدا اے جنہوں لکھاری مشہور کلے دوڑاک والے قیاس (lonely runner conjecture) دا اُچے بُعداں والا، میٹرکس روپ آکھدے نیں:
sup over x of minᵢ ‖aᵢ · x − bᵢ‖ ≥ k / (2n)
جتھے ‖t‖ ، t توں سب توں نیڑلے پورے عدد تک دا فاصلہ اے، k بُعداں وچ کسے وی n ویکٹراں aᵢ لئی جنہاں وچوں کوئی وی k آزاد ہون۔ ایہہ بیان آئی۔ جے۔ شوئنبرگ (I. J. Schoenberg) دا 1978 دا اک قیاس وی حل کردا اے جیہڑا “نظر دی رکاوٹ” (view obstruction) بارے اے — ایہہ سوال کہ لامحدود تک ہر نظر روکن لئی دہرائیاں جان والیاں سلاں کنیاں موٹیاں ہونیاں چاہیدیاں نیں — جنہوں لکھاری ایس شعبے دے سب توں کلاسیکی کھلے مسئلیاں وچوں اک آکھدے نیں، تے نال ای ہینزے (Henze) تے مالیکیوسس (Malikiosis) دا اک جڑیا قیاس وی۔
شکریے وچ اک مشین
لکھاری صاف صاف دسدے نیں: “اک لمی گل بات مگروں، ChatGPT 6 Pro نے سانوں تھیورم 1 دے ثبوت وچ لوڑیندے آخری جز، یعنی لیما 7، دا ثبوت دتا”، جیہدے وچ اوہناں نے اپنے مشاہدے — استقرا (induction) دا خیال تے عمومی حکمت عملی سمیت — سانجھے کیتے سن۔ “ہیٹھلی حد والی دلیل وی ChatGPT 6 Pro دی مدد نال لبھی گئی۔”
سوال باقی نیں۔ ٹھیک قدر 2d نارماں دے اک کھلے سیٹ اتے ثابت اے، سارے عام نارماں لئی نہیں۔ تے عام اقلیدسی فاصلے لئی، لکھاریاں دی امید اے کہ ہر بُعد وچ 2d توں سختی نال ودھ رنگ چاہیدے نیں — جیہڑی گل بُعد 2، 4، 7، 8 تے 9 تے اوہدے توں اُتے پہلاں ای پتہ اے، پر بُعد 3، 5 تے 6 وچ حالے کھلی اے۔