BİR YAPAY ZEKÂNIN İSPATI, İNSANLAR İÇİN YENİDEN ÇİZİLDİ

Birkaç nokta çizin ve bazılarını çizgilerle birleştirin. Matematikçiler buna çizge (graph) der; noktalar köşeler, çizgiler kenarlardır ve bir noktaya değen çizgi sayısı onun derecesidir. Bir ağaç, dallanan bir sürgün gibi döngü içermeyen ve tek parça halinde duran bir çizgedir; t noktalı bir ağacın her zaman t − 1 çizgisi vardır.

1960’ların başında Paul Erdős ve Vera T. Sós basit bir soru sordu: bir çizgeyi, belirli bir boyuttaki her ağacı içermeye kaç çizgi zorlar? Yanıtları, Erdős–Sós sanısı, şudur:

Bir çizgenin ortalama derecesi t − 2’den büyükse, t köşeli her ağacı içerir.

Eşik keskindir. Her çiftin birleştirildiği t − 1 noktalı tam çizgenin ayrı kopyalarını alın: her noktanın tam olarak t − 2 komşusu vardır, ama hiçbir parça t noktalı bir ağacı barındıracak kadar büyük değildir. Zorluk ortalama sözcüğündedir. Her bir noktanın en az t − 1 komşusu olsaydı, bir ağaç dal dal sorunsuzca yerleştirilebilirdi. Ama bir ortalama tek tek noktalar hakkında hiçbir şey söylemez: bazılarının yüzlerce komşusu, bazılarının neredeyse hiç komşusu olmayabilir.

Altmış yıllık kısmi yanıtlar

Makalede anlatılan tarihe göre problem 1962–1964 yıllarına uzanıyor ve belirli bir deseni kaç kenarın zorladığını inceleyen matematik dalının merkezine yerleşti. Özel durumlar tek tek çözüldü: yıldızlar, yollar, çift yıldızlar, az dallı ağaçlar. 1990’ların başında dört matematikçi — Ajtai, Komlós, Simonovits ve Szemerédi — çok büyük ağaçlar için bir ispat duyurdu, ancak son makaleler hiçbir tam el yazmasının yayımlanmadığını belirtiyor. 2021, 2024 ve 2026’da başka kısmi sonuçlar geldi. 4 Eylül 2026’da Reed ve Stein, büyük ve yoğun çizgeler için yapay zekâ olmadan geliştirildiğini belirttikleri bir ispat yayımladı.

Sonra bir rapor geldi. Eylül 2026’da Tom Adamczewski ve Thomas Bloom, FrontierMath Erdős adlı bir belgede, sanının tamamının bir ispatını bir yapay zekâ modelinin yayımlanmamış bir sürümüne, GPT-6 Astra’ya atfetti. Orijinal sayma argümanı kamuya açık ve eşlik eden bir depo, yapay zekânın ispat için yaptığı özerk aramayı ve Lean ispat denetleme dilinde biçimsel bir doğrulamayı kayıt altına alıyor. Raporun yazarları ayrıca insan uzmanları daha kapsamlı, geleneksel anlatımlar yazmaya çağırdı.

Bir çizgeyi her seferinde bir nokta açarak göstermek

Sacramento’daki California State University’den Jay Cummings bu çağrıya yanıt veriyor. 27 sayfalık makalesi, yapay zekânın merkezi sayma argümanını koruyor ama anlatılış biçimini değiştiriyor:

1. Çizgeyi kademeli olarak açığa çıkar. Köşeleri bir sıraya diz ve onları, daha önce gösterilenler arasındaki kenarlarla birlikte, tek tek ortaya çıkar.
2. Daha fazlasını iste. Ağacın herhangi bir kopyası yerine, seçilmiş “kökü” en ilk köşeye denk gelen bir kopya ara. Daha fazlasını istemek ispatı kolaylaştırır.
3. Erken komşuları say. Bunlar, böyle bir kopya ortaya çıkmadan önce beliren ilk köşenin komşularıdır. Onları her olası sıra üzerinden topla.
4. Toplamı sınırla. Köşelerin ya da sıranın bütün bloklarının yerini değiştirerek — her zaman geri alınabilen hamlelerle — Cummings, tüm sıralar üzerinden ortalamada en fazla t − 2 erken komşu olduğunu gösteriyor.

Son adım kısa. Çizge ağacın hiçbir kopyasını içermeseydi, ilk köşenin her komşusu her sırada erken olurdu. Tüm sıralar üzerinden ortalaması alındığında bu tam olarak ortalama derecedir — ki varsayım gereği t − 2’yi aşar. Çelişki: ağaç orada olmalıdır.

İspat, derecelerin nasıl dağıldığını değil, yalnızca toplamını kullanıyor. Cummings ayrıca olasılıksal bir sürüm veriyor ve dört ve beş köşeli ağaçları somut çizgeler üzerinde adım adım işliyor.

Resimli kitap gibi bir ispat

Makale 32 şekil içeriyor. Klasik bir sonuçla kapanıyor: tam bir çizgenin tüm çizgilerini q renkle boyayın; çizgenin q(t − 2) + 2 köşesi olduğunda bir renk her zaman verilen ağacı içerecektir. Son bir açıklamada Cummings, metni ChatGPT ile uzun bir diyalog içinde geliştirdiğini, yeni sunum fikirlerinin — erken komşular, açık bölüntüler, çizimler — kendisine ait olduğunu ve her şeyi denetleyip tüm sorumluluğu üstlendiğini anlatıyor.

Anlatımını Riordan ve Scott, Wood ve Frederickson’ın yakın tarihli diğer anlatımlarıyla karşılaştırıyor ve yöntemin şimdiden yönlü ağlara ve “hiperçizgelere” genişletildiğini, bu genişletmelerin bir kısmının da GPT-6 Astra’ya atfedildiğini belirtiyor. Kendi katkısının, diye yazıyor, “sanının yeni bir çözümü değil, argümanın okur merkezli, görsel bir açıklaması” olduğunu.